ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 29

**а)** Упростим исходное алгебраическое выражение: $$ \frac{(a-b)^3(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-3} + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} $$ 1. Преобразуем первое слагаемое числителя, учитывая, что $a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$: $$ (a-b)^3(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-3} = \frac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3} = (\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 $$ 2. Раскроем куб разности: $$ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a})^3 - 3(\sqrt{a})^2\sqrt{b} + 3\sqrt{a}(\sqrt{b})^2 - (\sqrt{b})^3 = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} $$ 3. Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} + 2a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = 3a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} = 3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b) $$ 4. Разложим знаменатель как сумму кубов $(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3$: $$ a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b) $$ 5. Сократим дробь на общий множитель $a - \sqrt{ab} + b \neq 0$: $$ \frac{3\sqrt{a}(a - \sqrt{ab} + b)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b)} = \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ 6. Вычислим значения $a$ и $b$: $$ a = \log_2^2 8 = (\log_2 2^3)^2 = 3^2 = 9 \implies \sqrt{a} = 3 $$ $$ b = \log_{\frac{1}{3}}^2 4 = (-\log_3 4)^2 = \log_3^2 4 \implies \sqrt{b} = \log_3 4 $$ 7. Подставим найденные значения в упрощенное выражение: $$ \frac{3 \cdot 3}{3 + \log_3 4} = \frac{9}{\log_3 27 + \log_3 4} = \frac{9}{\log_3 108} = 9\log_{108} 3 $$ Ответ: $9\log_{108} 3$ (или $\frac{9}{3 + \log_3 4}$). --- **б)** Упростим выражение: $$ \frac{c+d}{2\sqrt{c^3}} \cdot \left( \sqrt{\frac{c^2 - cd}{c+d}} + \sqrt{\frac{c^2 + cd}{c-d}} \right) $$ 1. Преобразуем выражение в скобках, вынося $\sqrt{c}$ за скобки: $$ \sqrt{\frac{c(c-d)}{c+d}} + \sqrt{\frac{c(c+d)}{c-d}} = \sqrt{c} \cdot \left( \frac{\sqrt{c-d}}{\sqrt{c+d}} + \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}} \right) $$ 2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{c-d}}{\sqrt{c+d}} + \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}} = \frac{(\sqrt{c-d})^2 + (\sqrt{c+d})^2}{\sqrt{(c+d)(c-d)}} = \frac{c - d + c + d}{\sqrt{c^2 - d^2}} = \frac{2c}{\sqrt{c^2 - d^2}} $$ 3. Выполним умножение, учитывая, что $\sqrt{c^3} = c\sqrt{c}$: $$ \frac{c+d}{2c\sqrt{c}} \cdot \sqrt{c} \cdot \frac{2c}{\sqrt{c^2 - d^2}} = \frac{c+d}{\sqrt{(c-d)(c+d)}} = \frac{\sqrt{c+d}}{\sqrt{c-d}} = \sqrt{\frac{c+d}{c-d}} $$ 4. Вычислим значения $c$ и $d$: $$ c = 17\log_2 3 $$ $$ d = 2\log_{0,5} 81 = 2\log_{2^{-1}} 3^4 = 2 \cdot (-4)\log_2 3 = -8\log_2 3 $$ 5. Найдем сумму и разность $c$ и $d$: $$ c + d = 17\log_2 3 + (-8\log_2 3) = 9\log_2 3 $$ $$ c - d = 17\log_2 3 - (-8\log_2 3) = 25\log_2 3 $$ 6. Подставим полученные значения: $$ \sqrt{\frac{c+d}{c-d}} = \sqrt{\frac{9\log_2 3}{25\log_2 3}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} = 0{,}6 $$ Ответ: $0{,}6$. --- **в)** Упростим выражение: $$ \left( (\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^{-2} + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^{-2} \right) : \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p-q} $$ 1. Преобразуем первую скобку: $$ \frac{1}{(\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2} + \frac{1}{(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2} = \frac{(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2}{((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q}))^2} $$ В числителе: $$ (\sqrt{p} + 2\sqrt[4]{pq} + \sqrt{q}) + (\sqrt{p} - 2\sqrt[4]{pq} + \sqrt{q}) = 2(\sqrt{p} + \sqrt{q}) $$ В знаменателе: $$ ((\sqrt[4]{p})^2 - (\sqrt[4]{q})^2)^2 = (\sqrt{p} - \sqrt{q})^2 $$ Таким образом, первая скобка равна: $$ \frac{2(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2} $$ 2. Преобразуем делитель, разложив разность квадратов $p - q = (\sqrt{p} - \sqrt{q})(\sqrt{p} + \sqrt{q})$: $$ \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{p - q} = \frac{\sqrt{p} + \sqrt{q}}{(\sqrt{p} - \sqrt{q})(\sqrt{p} + \sqrt{q})} = \frac{1}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{2(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{(\sqrt{p} - \sqrt{q})^2} : \frac{1}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} = \frac{2(\sqrt{p} + \sqrt{q})}{\sqrt{p} - \sqrt{q}} $$ 4. Вычислим значения $p$ и $q$: $$ p = \log_{\frac{1}{2}}^2 3 = (-\log_2 3)^2 = \log_2^2 3 \implies \sqrt{p} = \log_2 3 $$ $$ q = \log_2^2 9 = (\log_2 3^2)^2 = (2\log_2 3)^2 = 4\log_2^2 3 \implies \sqrt{q} = 2\log_2 3 $$ 5. Подставим найденные значения: $$ \frac{2(\log_2 3 + 2\log_2 3)}{\log_2 3 - 2\log_2 3} = \frac{2 \cdot 3\log_2 3}{-\log_2 3} = \frac{6\log_2 3}{-\log_2 3} = -6 $$ Ответ: $-6$.