ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 28

**а)** Обозначим $x = \sqrt{25 - a^2}$ и $y = \sqrt{13 - a^2}$. По условию: $$ x - y = 2 $$ Используем формулу разности квадратов: $$ x^2 - y^2 = (25 - a^2) - (13 - a^2) = 25 - a^2 - 13 + a^2 = 12 $$ С другой стороны: $$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$ Подставим известное значение разности: $$ 2(x + y) = 12 $$ $$ x + y = 6 $$ Следовательно, $\sqrt{25 - a^2} + \sqrt{13 - a^2} = 6$. **Ответ:** $6$ --- **б)** Обозначим $x = \sqrt{34 + a^2}$ и $y = \sqrt{7 + a^2}$. По условию: $$ x + y = 6 $$ Найдем разность квадратов данных выражений: $$ x^2 - y^2 = (34 + a^2) - (7 + a^2) = 34 + a^2 - 7 - a^2 = 27 $$ Так как $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$, получаем: $$ 6(x - y) = 27 $$ $$ x - y = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5 $$ Следовательно, $\sqrt{34 + a^2} - \sqrt{7 + a^2} = 4{,}5$. **Ответ:** $4{,}5$ --- **в)** Обозначим $u = \sqrt[3]{21 + b}$ и $v = \sqrt[3]{2 + b}$. По условию: $$ u - v = 4 $$ Найдем разность кубов $u$ и $v$: $$ u^3 - v^3 = (21 + b) - (2 + b) = 19 $$ Запишем искомое выражение через $u$ и $v$: $$ \sqrt[3]{(2 + b)^2(21 + b)} - \sqrt[3]{(2 + b)(21 + b)^2} = v^2 u - v u^2 = -uv(u - v) $$ Так как $u - v = 4$, искомое выражение равно $-4uv$. Воспользуемся формулой куба разности $(u - v)^3 = u^3 - 3u^2 v + 3uv^2 - v^3 = (u^3 - v^3) - 3uv(u - v)$: $$ u^3 - v^3 = (u - v)^3 + 3uv(u - v) $$ Подставим известные числовые значения: $$ 19 = 4^3 + 3uv \cdot 4 $$ $$ 19 = 64 + 12uv $$ $$ 12uv = 19 - 64 $$ $$ 12uv = -45 $$ $$ uv = -\frac{45}{12} = -\frac{15}{4} $$ Тогда значение искомого выражения: $$ -4uv = -4 \cdot \left(-\frac{15}{4}\right) = 15 $$ **Ответ:** $15$ --- **г)** Обозначим $u = \sqrt[3]{3 - 2b}$ и $v = \sqrt[3]{1 - 2b}$. По условию: $$ u - v = 2 $$ Найдем разность кубов $u$ и $v$: $$ u^3 - v^3 = (3 - 2b) - (1 - 2b) = 3 - 2b - 1 + 2b = 2 $$ Запишем искомое выражение через $u$ и $v$: $$ \sqrt[3]{(3 - 2b)^2(1 - 2b)} - \sqrt[3]{(3 - 2b)(1 - 2b)^2} = u^2 v - u v^2 = uv(u - v) $$ Так как $u - v = 2$, искомое выражение равно $2uv$. Используем формулу: $$ u^3 - v^3 = (u - v)^3 + 3uv(u - v) $$ Подставим известные значения: $$ 2 = 2^3 + 3uv \cdot 2 $$ $$ 2 = 8 + 6uv $$ $$ 6uv = 2 - 8 $$ $$ 6uv = -6 $$ $$ uv = -1 $$ Тогда значение искомого выражения: $$ 2uv = 2 \cdot (-1) = -2 $$ **Ответ:** $-2$