ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 31

**а)** Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Члены с нечётными номерами образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1$ и разностью $2d$. Сумма первых пяти таких членов равна: $$ S_{\text{нечёт}} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 5a_1 + (2 + 4 + 6 + 8)d = 5a_1 + 20d $$ Члены с чётными номерами также образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_2 = a_1 + d$ и разностью $2d$. Сумма первых пяти таких членов равна: $$ S_{\text{чёт}} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = (a_1 + d) + (a_3 + d) + (a_5 + d) + (a_7 + d) + (a_9 + d) = S_{\text{нечёт}} + 5d $$ По условию задачи сумма первых пяти членов с нечётными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с чётными номерами: $$ S_{\text{нечёт}} - S_{\text{чёт}} = 1 $$ Так как $S_{\text{чёт}} - S_{\text{нечёт}} = 5d$, получаем: $$ -5d = 1 \implies d = -0{,}2 $$ Также по условию эта же сумма членов с нечётными номерами равна квадрату первого члена: $$ S_{\text{нечёт}} = a_1^2 $$ Подставим найденное значение $d = -0{,}2$ в выражение для $S_{\text{нечёт}}$: $$ S_{\text{нечёт}} = 5a_1 + 20 \cdot (-0{,}2) = 5a_1 - 4 $$ Составим и решим уравнение: $$ a_1^2 = 5a_1 - 4 $$ $$ a_1^2 - 5a_1 + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ a_1 = 1 \quad \text{или} \quad a_1 = 4 $$ Таким образом, получаем два решения: $a_1 = 1, d = -0{,}2$ или $a_1 = 4, d = -0{,}2$. Ответ к пункту а: $a_1 = 1, d = -0{,}2$ или $a_1 = 4, d = -0{,}2$. --- **б)** Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма первых четырёх членов с нечётными номерами равна: $$ S_{\text{нечёт}} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 4a_1 + (2 + 4 + 6)d = 4a_1 + 12d $$ Сумма первых четырёх членов с чётными номерами равна: $$ S_{\text{чёт}} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = (a_1 + d) + (a_3 + d) + (a_5 + d) + (a_7 + d) = S_{\text{нечёт}} + 4d $$ По условию задачи сумма первых четырёх членов с нечётными номерами на единицу меньше суммы первых четырёх членов с чётными номерами: $$ S_{\text{чёт}} - S_{\text{нечёт}} = 1 $$ Отсюда: $$ 4d = 1 \implies d = 0{,}25 $$ Также по условию сумма первых четырёх членов с нечётными номерами равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена: $$ S_{\text{нечёт}} = -a_1^2 $$ Подставим найденное значение $d = 0{,}25$ в выражение для $S_{\text{нечёт}}$: $$ S_{\text{нечёт}} = 4a_1 + 12 \cdot 0{,}25 = 4a_1 + 3 $$ Составим и решим уравнение: $$ -a_1^2 = 4a_1 + 3 $$ $$ a_1^2 + 4a_1 + 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ a_1 = -1 \quad \text{или} \quad a_1 = -3 $$ Таким образом, получаем два решения: $a_1 = -1, d = 0{,}25$ или $a_1 = -3, d = 0{,}25$. Ответ к пункту б: $a_1 = -1, d = 0{,}25$ или $a_1 = -3, d = 0{,}25$.