ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 27

Упростим выражение по действиям, рассмотрев каждое из слагаемых отдельно. 1. Преобразуем выражение в первых круглых скобках: $$ \frac{1}{a^2 - \sqrt{x + a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x + a^4}} $$ Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(u - v)(u + v) = u^2 - v^2$: $$ \frac{(a^2 + \sqrt{x + a^4}) + (a^2 - \sqrt{x + a^4})}{(a^2 - \sqrt{x + a^4})(a^2 + \sqrt{x + a^4})} = \frac{2a^2}{(a^2)^2 - (\sqrt{x + a^4})^2} $$ Раскроем скобки в знаменателе: $$ \frac{2a^2}{a^4 - (x + a^4)} = \frac{2a^2}{a^4 - x - a^4} = \frac{2a^2}{-x} = -\frac{2a^2}{x} $$ Возведем полученный результат в степень $-1$: $$ \left( \frac{1}{a^2 - \sqrt{x + a^4}} + \frac{1}{a^2 + \sqrt{x + a^4}} \right)^{-1} = \left( -\frac{2a^2}{x} \right)^{-1} = -\frac{x}{2a^2} $$ 2. Преобразуем выражение во вторых круглых скобках: $$ \frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} - 1 $$ Преобразуем вторую дробь в скобках, записав $a^4 x^{-1}$ в виде $\frac{a^4}{x}$: $$ \frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} = \frac{1}{1 + \frac{a^4}{x}} = \frac{1}{\frac{x + a^4}{x}} = \frac{x}{x + a^4} $$ Сложим полученную дробь с первой дробью: $$ \frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{x}{x + a^4} = \frac{2a^2 + a^4 + x}{x + a^4} $$ Вычтем единицу: $$ \frac{x + a^4 + 2a^2}{x + a^4} - 1 = \frac{x + a^4 + 2a^2 - (x + a^4)}{x + a^4} = \frac{2a^2}{x + a^4} $$ Возведем результат в степень $-1$: $$ \left( \frac{2a^2 + a^4}{x + a^4} + \frac{1}{1 + a^4 x^{-1}} - 1 \right)^{-1} = \left( \frac{2a^2}{x + a^4} \right)^{-1} = \frac{x + a^4}{2a^2} $$ 3. Сложим результаты первого и второго действий: $$ -\frac{x}{2a^2} + \frac{x + a^4}{2a^2} = \frac{-x + x + a^4}{2a^2} = \frac{a^4}{2a^2} = \frac{a^2}{2} $$ Ответ: $\frac{a^2}{2}$ (или $0{,}5a^2$).