ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 26

a) Преобразуем исходное выражение: $$ \frac{2}{a - 2\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} + \frac{1}{\sqrt{a}} $$ Разложим знаменатель первой дроби на множители, вынеся $\sqrt{a}$ за скобки: $$ a - 2\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) $$ Сложим первую и третью дроби: $$ \frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} + \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{2 + (\sqrt{a} - 2)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} $$ Сократим полученную дробь на $\sqrt{a} \neq 0$: $$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)} = \frac{1}{\sqrt{a} - 2} $$ Теперь вычтем вторую дробь: $$ \frac{1}{\sqrt{a} - 2} - \frac{1}{\sqrt{a} + 2} = \frac{(\sqrt{a} + 2) - (\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2)} = \frac{\sqrt{a} + 2 - \sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a})^2 - 2^2} = \frac{4}{a - 4} $$ Ответ: $\frac{4}{a - 4}$. --- b) Преобразуем выражение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$: $$ \frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} - \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}} $$ Упростим первую дробь: $$ \frac{a - a^{-1}}{1 + a^{-1}} = \frac{a - \frac{1}{a}}{1 + \frac{1}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 1}{a}}{\frac{a + 1}{a}} = \frac{a^2 - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a - 1 $$ Упростим вторую дробь: $$ \frac{a - a^{-1}}{1 - a^{-1}} = \frac{a - \frac{1}{a}}{1 - \frac{1}{a}} = \frac{\frac{a^2 - 1}{a}}{\frac{a - 1}{a}} = \frac{a^2 - 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a + 1 $$ Выполним вычитание: $$ (a - 1) - (a + 1) = a - 1 - a - 1 = -2 $$ Ответ: $-2$.