ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 32

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($b_1 \neq 0$), а $q$ — её знаменатель ($0 < |q| < 1$). Члены прогрессии с нечётными номерами: $b_1, b_3, b_5, \dots$ Они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_1$ и знаменателем $q^2$ ($|q^2| < 1$). Их сумма равна: $$S_{\text{нечёт}} = \frac{b_1}{1 - q^2}$$ Члены прогрессии с чётными номерами: $b_2, b_4, b_6, \dots$ Они также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $b_2 = b_1 q$ и знаменателем $q^2$. Их сумма равна: $$S_{\text{чёт}} = \frac{b_2}{1 - q^2} = \frac{b_1 q}{1 - q^2}$$ Найдём разность этих сумм: $$S_{\text{нечёт}} - S_{\text{чёт}} = \frac{b_1 - b_1 q}{1 - q^2} = \frac{b_1(1 - q)}{(1 - q)(1 + q)} = \frac{b_1}{1 + q}$$ По условию сумма членов с нечётными номерами больше суммы членов с чётными номерами на величину, равную произведению второго члена $b_2 = b_1 q$ и некоторого выражения $A$: $$S_{\text{нечёт}} - S_{\text{чёт}} = b_2 \cdot A$$ $$\frac{b_1}{1 + q} = b_1 q \cdot A$$ Так как $b_1 \neq 0$, разделим обе части уравнения на $b_1$: $$\frac{1}{1 + q} = q \cdot A \implies A = \frac{1}{q(1 + q)}$$ Так как сумма членов с нечётными номерами больше суммы членов с чётными номерами, разность $S_{\text{нечёт}} - S_{\text{чёт}} > 0$. Поскольку $1 + q > 0$ при $|q| < 1$, получаем $b_1 > 0$. --- ### а) По условию знаменатель отрицателен, то есть $-1 < q < 0$, а выражение $A = m^2 + 10m + 20$, где $m \in \mathbb{Z}$. $$m^2 + 10m + 20 = \frac{1}{q(1 + q)}$$ Исследуем значения функции $f(q) = \frac{1}{q(1 + q)}$ на интервале $(-1; 0)$. Рассмотрим квадратичную функцию в знаменателе: $g(q) = q^2 + q$. Её график — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке: $$q_0 = -\frac{1}{2}$$ Значение в вершине: $$g\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$ При $q \in (-1; 0)$ функция $g(q)$ принимает значения из промежутка $\left[-\frac{1}{4}; 0\right)$. Следовательно, дробь $f(q) = \frac{1}{g(q)}$ принимает значения: $$f(q) \leqslant \frac{1}{-\frac{1}{4}} = -4$$ То есть $f(q) \in (-\infty; -4]$. Значит, для существования такого $q \in (-1; 0)$ необходимо и достаточно выполнение неравенства: $$m^2 + 10m + 20 \leqslant -4$$ $$m^2 + 10m + 24 \leqslant 0$$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$m^2 + 10m + 24 = 0 \implies (m + 4)(m + 6) = 0 \implies m_1 = -6, \; m_2 = -4$$ Решением неравенства является отрезок: $$-6 \leqslant m \leqslant -4$$ Так как $m$ — целое число, получаем: $$m \in \{-6; -5; -4\}$$ **Ответ к пункту а:** $-6; -5; -4$. --- ### б) По условию знаменатель положителен, то есть $0 < q < 1$, а выражение $A = 6n - n^2 - 7,5$, где $n \in \mathbb{Z}$. $$6n - n^2 - 7,5 = \frac{1}{q(1 + q)}$$ Исследуем значения функции $f(q) = \frac{1}{q(1 + q)}$ на интервале $(0; 1)$. Функция $g(q) = q^2 + q$ при $q \in (0; 1)$ монотонно возрастает от $g(0) = 0$ до $g(1) = 1^2 + 1 = 2$. Следовательно, $g(q) \in (0; 2)$. Тогда функция $f(q) = \frac{1}{g(q)}$ непрерывна и монотонно убывает, принимая значения: $$f(q) > \frac{1}{2}$$ То есть $f(q) \in \left(\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Значит, для существования такого $q \in (0; 1)$ необходимо и достаточно выполнение неравенства: $$6n - n^2 - 7,5 > \frac{1}{2}$$ $$-n^2 + 6n - 8 > 0$$ $$n^2 - 6n + 8 < 0$$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$n^2 - 6n + 8 = 0 \implies (n - 2)(n - 4) = 0 \implies n_1 = 2, \; n_2 = 4$$ Решением неравенства является интервал: $$2 < n < 4$$ Так как $n$ — целое число, единственным решением является: $$n = 3$$ **Ответ к пункту б:** $3$.