ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 25

**а)** Сократим дробь $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12}$ и вычислим её значение при $x = 3$. 1. Разложим числитель дроби на множители способом группировки: $$ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = x^2(x + 4) - 9(x + 4) = (x + 4)(x^2 - 9) = (x + 4)(x - 3)(x + 3) $$ 2. Разложим знаменатель дроби на множители. Среди делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ найдём корень многочлена. При $x = -1$: $$ (-1)^3 + 2(-1)^2 - 11(-1) - 12 = -1 + 2 + 11 - 12 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(x + 1)$. Выполним группировку: $$ x^3 + 2x^2 - 11x - 12 = (x^3 + x^2) + (x^2 + x) - (12x + 12) = x^2(x + 1) + x(x + 1) - 12(x + 1) = (x + 1)(x^2 + x - 12) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + x - 12$ на множители по теореме Виета ($x_1 = -4$, $x_2 = 3$): $$ x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) $$ Таким образом, знаменатель равен: $$ (x + 1)(x + 4)(x - 3) $$ 3. Сократим дробь: $$ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^3 + 2x^2 - 11x - 12} = \frac{(x + 4)(x - 3)(x + 3)}{(x + 1)(x + 4)(x - 3)} = \frac{x + 3}{x + 1} $$ 4. Вычислим значение полученного выражения при $x = 3$: $$ \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ --- **б)** Сократим дробь $\frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}$ и вычислим её значение при $x = -2$. 1. Разложим числитель дроби на множители. Проверим делители свободного члена. При $x = -2$: $$ (-2)^3 + 7(-2)^2 + 16(-2) + 12 = -8 + 28 - 32 + 12 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(x + 2)$. Сгруппируем слагаемые: $$ x^3 + 7x^2 + 16x + 12 = (x^3 + 2x^2) + (5x^2 + 10x) + (6x + 12) = x^2(x + 2) + 5x(x + 2) + 6(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 5x + 6) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 5x + 6$ на множители по теореме Виета ($x_1 = -2$, $x_2 = -3$): $$ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) $$ Получаем числитель: $$ (x + 2)^2(x + 3) $$ 2. Разложим знаменатель дроби на множители. При $x = -1$: $$ (-1)^3 + 5(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 + 5 - 8 + 4 = 0 $$ Значит, многочлен делится на $(x + 1)$. Сгруппируем слагаемые: $$ x^3 + 5x^2 + 8x + 4 = (x^3 + x^2) + (4x^2 + 4x) + (4x + 4) = x^2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 4x + 4) $$ Применим формулу квадрата суммы $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$: $$ (x + 1)(x + 2)^2 $$ 3. Сократим дробь: $$ \frac{x^3 + 7x^2 + 16x + 12}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4} = \frac{(x + 2)^2(x + 3)}{(x + 1)(x + 2)^2} = \frac{x + 3}{x + 1} $$ 4. Вычислим значение полученного выражения при $x = -2$: $$ \frac{-2 + 3}{-2 + 1} = \frac{1}{-1} = -1 $$ **Ответ:** а) $\frac{x + 3}{x + 1}$; значение равно $1{,}5$; б) $\frac{x + 3}{x + 1}$; значение равно $-1$.