ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 168

а) $\frac{1-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}} \leqslant 0$ Приведём числитель и знаменатель дроби к общему знаменателю при условии $x \neq 0$: $$ 1 - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}, \quad 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ \frac{\frac{x-3}{x}}{\frac{x+1}{x}} \leqslant 0 $$ Упростим трёхэтажную дробь: $$ \frac{x-3}{x} : \frac{x+1}{x} = \frac{x-3}{x} \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{x-3}{x+1} $$ Таким образом, получаем равносильную систему: $$ \begin{cases} \frac{x-3}{x+1} \leqslant 0, \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Решим дробно-рациональное неравенство $\frac{x-3}{x+1} \leqslant 0$ методом интервалов: 1. Нуль числителя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$ (включается в решение). 2. Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$ (выкалывается). 3. Знаки выражения $\frac{x-3}{x+1}$ на числовой оси: - при $x > 3$: знак «$+$»; - при $-1 < x < 3$: знак «$-$»; - при $x < -1$: знак «$+$». Решением неравенства является промежуток $(-1; 3]$. С учётом условия $x \neq 0$ исключаем точку $0$: $x \in (-1; 0) \cup (0; 3]$. Ответ: $(-1; 0) \cup (0; 3]$. --- б) $\frac{1+\frac{2}{x}}{1+\frac{3}{x}} \geqslant 0$ Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю при $x \neq 0$: $$ 1 + \frac{2}{x} = \frac{x+2}{x}, \quad 1 + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x} $$ Преобразуем дробь: $$ \frac{\frac{x+2}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x+2}{x+3} $$ Исходное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x+2}{x+3} \geqslant 0, \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Решим неравенство $\frac{x+2}{x+3} \geqslant 0$ методом интервалов: 1. Нуль числителя: $x = -2$ (закрашенная точка). 2. Нуль знаменателя: $x = -3$ (выколотая точка). 3. Знаки выражения $\frac{x+2}{x+3}$ на интервалах: - на $(-\infty; -3)$: знак «$+$»; - на $(-3; -2)$: знак «$-$»; - на $(-2; +\infty)$: знак «$+$». Решением неравенства без учёта ограничения является $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; +\infty)$. Исключая точку $x = 0$, получаем: $x \in (-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -3) \cup [-2; 0) \cup (0; +\infty)$. --- в) $\frac{1-\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}} \leqslant 0$ Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю при $x \neq 0$: $$ 1 - \frac{4}{x} = \frac{x-4}{x}, \quad 1 + \frac{3}{x} = \frac{x+3}{x} $$ Преобразуем дробь: $$ \frac{\frac{x-4}{x}}{\frac{x+3}{x}} = \frac{x-4}{x+3} $$ Неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x-4}{x+3} \leqslant 0, \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Применим метод интервалов для неравенства $\frac{x-4}{x+3} \leqslant 0$: 1. Нуль числителя: $x = 4$ (входит в решение). 2. Нуль знаменателя: $x = -3$ (не входит в решение). 3. Знаки выражения $\frac{x-4}{x+3}$ на интервалах: - на $(-\infty; -3)$: знак «$+$»; - на $(-3; 4)$: знак «$-$»; - на $(4; +\infty)$: знак «$+$». Решением неравенства является промежуток $(-3; 4]$. Учитывая, что $x \neq 0$, выкалываем точку $0$: $x \in (-3; 0) \cup (0; 4]$. Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 4]$. --- г) $\frac{1-\frac{5}{x}}{1-\frac{2}{x}} \geqslant 0$ Приведём выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю при $x \neq 0$: $$ 1 - \frac{5}{x} = \frac{x-5}{x}, \quad 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x} $$ Преобразуем отношение дробей: $$ \frac{\frac{x-5}{x}}{\frac{x-2}{x}} = \frac{x-5}{x-2} $$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} \frac{x-5}{x-2} \geqslant 0, \\ x \neq 0 \end{cases} $$ Решим неравенство $\frac{x-5}{x-2} \geqslant 0$ методом интервалов: 1. Нуль числителя: $x = 5$ (закрашенная точка). 2. Нуль знаменателя: $x = 2$ (выколотая точка). 3. Знаки выражения $\frac{x-5}{x-2}$ на интервалах: - на $(-\infty; 2)$: знак «$+$»; - на $(2; 5)$: знак «$-$»; - на $(5; +\infty)$: знак «$+$». Решением неравенства служит множество $(-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$. Учитывая условие $x \neq 0$, выкалываем точку $0$: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup [5; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup [5; +\infty)$.