ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 166

а) Решим неравенство: $$ \frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2} $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ \frac{5}{2-x} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0 $$ Учитывая, что $2 - x = -(x - 2)$, перепишем первую дробь и умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ -\frac{5}{x-2} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0 $$ $$ \frac{5}{x-2} + 1 + \frac{3}{x+2} < 0 $$ Приведём слагаемые к общему знаменателю $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$: $$ \frac{5(x+2) + (x^2 - 4) + 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} < 0 $$ Упростим числитель: $$ 5x + 10 + x^2 - 4 + 3x - 6 = x^2 + 8x = x(x+8) $$ Получаем неравенство: $$ \frac{x(x+8)}{(x-2)(x+2)} < 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: $x = 0$, $x = -8$, $x = 2$, $x = -2$. Нанесём найденные точки на числовую прямую и применим метод интервалов. Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. Знаки дроби на интервалах (справа налево): - при $x \in (2; +\infty)$ — знак «$+$»; - при $x \in (0; 2)$ — знак «$-$»; - при $x \in (-2; 0)$ — знак «$+$»; - при $x \in (-8; -2)$ — знак «$-$»; - при $x \in (-\infty; -8)$ — знак «$+$». Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля. Ответ: $(-8; -2) \cup (0; 2)$. --- б) Решим неравенство: $$ \frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x} $$ Перенесём слагаемые в левую часть: $$ \frac{5}{x+4} - 1 - \frac{1}{4-x} < 0 $$ Так как $4 - x = -(x - 4)$, получаем: $$ \frac{5}{x+4} - 1 + \frac{1}{x-4} < 0 $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$: $$ \frac{5(x-4) - (x^2 - 16) + (x+4)}{(x+4)(x-4)} < 0 $$ Преобразуем числитель: $$ 5x - 20 - x^2 + 16 + x + 4 = -x^2 + 6x $$ Неравенство принимает вид: $$ \frac{-x^2 + 6x}{(x+4)(x-4)} < 0 $$ Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{x(x-6)}{(x+4)(x-4)} > 0 $$ Нули числителя: $x = 0$, $x = 6$. Нули знаменателя: $x = -4$, $x = 4$. Наносим нули на числовую прямую и определяем знаки на интервалах методом интервалов: - при $x \in (6; +\infty)$ — «$+$»; - при $x \in (4; 6)$ — «$-$»; - при $x \in (0; 4)$ — «$+$»; - при $x \in (-4; 0)$ — «$-$»; - при $x \in (-\infty; -4)$ — «$+$». Выбираем интервалы со знаком «$+$». Ответ: $(-\infty; -4) \cup (0; 4) \cup (6; +\infty)$. --- в) Решим неравенство: $$ \frac{2}{3-x} > 1 - \frac{3}{x+2} $$ Перенесём все члены в левую часть: $$ \frac{2}{3-x} - 1 + \frac{3}{x+2} > 0 $$ Заменим $3 - x$ на $-(x - 3)$: $$ -\frac{2}{x-3} - 1 + \frac{3}{x+2} > 0 $$ Умножим неравенство на $-1$: $$ \frac{2}{x-3} + 1 - \frac{3}{x+2} < 0 $$ Приведём к общему знаменателю $(x-3)(x+2)$: $$ \frac{2(x+2) + (x-3)(x+2) - 3(x-3)}{(x-3)(x+2)} < 0 $$ Раскроем скобки в числителе: $$ 2x + 4 + x^2 - x - 6 - 3x + 9 = x^2 - 2x + 7 $$ Получаем: $$ \frac{x^2 - 2x + 7}{(x-3)(x+2)} < 0 $$ Исследуем числитель $x^2 - 2x + 7$: Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, квадратный трёхчлен $x^2 - 2x + 7 > 0$ при любых действительных $x$. Следовательно, дробь отрицательна тогда и только тогда, когда её знаменатель отрицателен: $$ (x-3)(x+2) < 0 $$ Корни знаменателя: $x = -2$ и $x = 3$. Решением неравенства является интервал между корнями. Ответ: $(-2; 3)$. --- г) Решим неравенство: $$ \frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x} $$ Перенесём слагаемые в левую часть: $$ \frac{7}{x+5} - 1 - \frac{2}{5-x} < 0 $$ Заменим $5 - x$ на $-(x - 5)$: $$ \frac{7}{x+5} - 1 + \frac{2}{x-5} < 0 $$ Приведём к общему знаменателю $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$: $$ \frac{7(x-5) - (x^2 - 25) + 2(x+5)}{(x+5)(x-5)} < 0 $$ Преобразуем числитель: $$ 7x - 35 - x^2 + 25 + 2x + 10 = -x^2 + 9x $$ Получаем неравенство: $$ \frac{-x^2 + 9x}{(x+5)(x-5)} < 0 $$ Умножим на $-1$, меняя знак неравенства: $$ \frac{x(x-9)}{(x+5)(x-5)} > 0 $$ Нули числителя: $x = 0$, $x = 9$. Нули знаменателя: $x = -5$, $x = 5$. Наносим точки на числовую прямую и определяем знаки на полученных интервалах методом интервалов: - при $x \in (9; +\infty)$ — «$+$»; - при $x \in (5; 9)$ — «$-$»; - при $x \in (0; 5)$ — «$+$»; - при $x \in (-5; 0)$ — «$-$»; - при $x \in (-\infty; -5)$ — «$+$». Выбираем промежутки, где выражение строго больше нуля. Ответ: $(-\infty; -5) \cup (0; 5) \cup (9; +\infty)$.