ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 165

### 165 **а)** $\frac{3}{x-2} \geqslant x$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём выражение к общему знаменателю: $$ \frac{3}{x-2} - x \geqslant 0 $$ $$ \frac{3 - x(x-2)}{x-2} \geqslant 0 $$ $$ \frac{3 - x^2 + 2x}{x-2} \geqslant 0 $$ $$ \frac{-(x^2 - 2x - 3)}{x-2} \geqslant 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x^2 - 2x - 3}{x-2} \leqslant 0 $$ Разложим числитель на множители. Корни квадратного трёхчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$: $$ \frac{(x + 1)(x - 3)}{x - 2} \leqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -1$, $x = 3$ (входят в решение, точки закрашенные). 2. Нуль знаменателя: $x = 2$ (не входит в решение, точка выколотая, так как делить на ноль нельзя). Нанесём эти точки на числовую ось и определим знаки дроби на каждом из полученных промежутков: * при $x > 3$: знак «$+$»; * при $2 < x < 3$: знак «$-$»; * при $-1 < x < 2$: знак «$+$»; * при $x < -1$: знак «$-$». Неравенство имеет знак $\leqslant 0$, поэтому выбираем промежутки со знаком «$-$», включая нули числителя: $$ x \in (-\infty; -1] \cup (2; 3] $$ **Ответ:** $(-\infty; -1] \cup (2; 3]$ --- **б)** $x \geqslant \frac{2}{x-1}$ Перенесём дробь в левую часть: $$ x - \frac{2}{x-1} \geqslant 0 $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{x(x-1) - 2}{x-1} \geqslant 0 $$ $$ \frac{x^2 - x - 2}{x-1} \geqslant 0 $$ Разложим числитель на множители. По теореме Виета корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$: $$ \frac{(x + 1)(x - 2)}{x - 1} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -1$, $x = 2$ (закрашенные точки). 2. Нуль знаменателя: $x = 1$ (выколотая точка). Определим знаки выражения на интервалах: * при $x > 2$: знак «$+$»; * при $1 < x < 2$: знак «$-$»; * при $-1 < x < 1$: знак «$+$»; * при $x < -1$: знак «$-$». Нам необходимы промежутки со знаком «$+$»: $$ x \in [-1; 1) \cup [2; +\infty) $$ **Ответ:** $[-1; 1) \cup [2; +\infty)$ --- **в)** $\frac{x^2-1}{x+5} < 1$ Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{x^2-1}{x+5} - 1 < 0 $$ $$ \frac{x^2 - 1 - (x + 5)}{x+5} < 0 $$ $$ \frac{x^2 - x - 6}{x+5} < 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$: $$ \frac{(x + 2)(x - 3)}{x + 5} < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -2$, $x = 3$ (выколотые точки, так как неравенство строгое). 2. Нуль знаменателя: $x = -5$ (выколотая точка). Определим знаки дроби на интервалах: * при $x > 3$: знак «$+$»; * при $-2 < x < 3$: знак «$-$»; * при $-5 < x < -2$: знак «$+$»; * при $x < -5$: знак «$-$». Выбираем интервалы со знаком «$-$»: $$ x \in (-\infty; -5) \cup (-2; 3) $$ **Ответ:** $(-\infty; -5) \cup (-2; 3)$ --- **г)** $\frac{2x-1}{x-3} < x+3$ Перенесём выражение $x+3$ в левую часть: $$ \frac{2x-1}{x-3} - (x+3) < 0 $$ Приведём к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$: $$ \frac{2x - 1 - (x+3)(x-3)}{x-3} < 0 $$ $$ \frac{2x - 1 - (x^2 - 9)}{x-3} < 0 $$ $$ \frac{-x^2 + 2x + 8}{x-3} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, сменив знак неравенства: $$ \frac{x^2 - 2x - 8}{x-3} > 0 $$ Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$: $$ \frac{(x + 2)(x - 4)}{x - 3} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -2$, $x = 4$ (выколотые точки). 2. Нуль знаменателя: $x = 3$ (выколотая точка). Определим знаки выражения на интервалах: * при $x > 4$: знак «$+$»; * при $3 < x < 4$: знак «$-$»; * при $-2 < x < 3$: знак «$+$»; * при $x < -2$: знак «$-$». Выбираем интервалы со знаком «$+$»: $$ x \in (-2; 3) \cup (4; +\infty) $$ **Ответ:** $(-2; 3) \cup (4; +\infty)$