ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 169

а) Решим неравенство: $$ \frac{1}{x^2 + 8x - 9} \geqslant \frac{1}{3x^2 - 5x + 2} $$ Разложим квадратные трехчлены в знаменателях на множители. 1. Для $x^2 + 8x - 9$: по теореме Виета корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$. Следовательно, $x^2 + 8x - 9 = (x - 1)(x + 9)$. 2. Для $3x^2 - 5x + 2$: найдем корни через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{6}$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{2}{3}$. Следовательно, $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - 1)\left(x - \frac{2}{3}\right) = (x - 1)(3x - 2)$. Перенесем дробь из правой части в левую и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{1}{(x - 1)(x + 9)} - \frac{1}{(x - 1)(3x - 2)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{(3x - 2) - (x + 9)}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{2x - 11}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: - ноль числителя: $2x - 11 = 0 \implies x = 5{,}5$; - нули знаменателя: $x = -9$, $x = \frac{2}{3}$, $x = 1$. Отметим полученные точки на числовой прямой (нули знаменателя выколоты, ноль числителя закрашен): Нанесем знаки выражения на интервалах справа налево, начиная со знака $+$ (все множители имеют положительные старшие коэффициенты и входят в нечетных степенях): - на $(5{,}5; +\infty)$ — знак $+$; - на $(1; 5{,}5)$ — знак $-$; - на $\left(\frac{2}{3}; 1\right)$ — знак $+$; - на $\left(-9; \frac{2}{3}\right)$ — знак $-$; - на $(-\infty; -9)$ — знак $+$. Так как неравенство нестрогое со знаком $\geqslant$, выбираем интервалы со знаком $+$ и включаем закрашенную точку $x = 5{,}5$: $$ x \in (-\infty; -9) \cup \left(\frac{2}{3}; 1\right) \cup [5{,}5; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup \left(\frac{2}{3}; 1\right) \cup [5{,}5; +\infty)$. б) Решим неравенство: $$ \frac{1}{3x^2 + 11x + 10} \geqslant \frac{1}{2 - x - x^2} $$ Разложим квадратные трехчлены в знаменателях на множители. 1. Для $3x^2 + 11x + 10$: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$, $x = \frac{-11 \pm 1}{6}$, откуда $x_1 = -2$, $x_2 = -\frac{5}{3}$. Следовательно, $3x^2 + 11x + 10 = (x + 2)(3x + 5)$. 2. Для $2 - x - x^2$: вынесем знак «минус»: $2 - x - x^2 = -(x^2 + x - 2) = -(x + 2)(x - 1) = (x + 2)(1 - x)$. Перенесем правую часть влево: $$ \frac{1}{(x + 2)(3x + 5)} - \frac{1}{-(x + 2)(x - 1)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{1}{(x + 2)(3x + 5)} + \frac{1}{(x + 2)(x - 1)} \geqslant 0 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(3x + 5)(x - 1)$: $$ \frac{(x - 1) + (3x + 5)}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \geqslant 0 $$ $$ \frac{4x + 4}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \geqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $4$: $$ \frac{x + 1}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: - ноль числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$; - нули знаменателя: $x = -2$, $x = -\frac{5}{3}$, $x = 1$. Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-2 < -\frac{5}{3} < -1 < 1$. Точки $-2$, $-\frac{5}{3}$ и $1$ выколоты, так как они обращают знаменатель в нуль. Точка $-1$ закрашена. Определим знаки выражения на получившихся интервалах: - на $(1; +\infty)$ — знак $+$; - на $(-1; 1)$ — знак $-$; - на $\left(-\frac{5}{3}; -1\right)$ — знак $+$; - на $\left(-2; -\frac{5}{3}\right)$ — знак $-$; - на $(-\infty; -2)$ — знак $+$. Выбираем интервалы со знаком $+$: $$ x \in (-\infty; -2) \cup \left(-\frac{5}{3}; -1\right] \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup \left(-\frac{5}{3}; -1\right] \cup (1; +\infty)$.