ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 164

а) Решим неравенство методом интервалов: $$ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 + 5x + 6} < 0 $$ Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: * Числитель: $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Получаем: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. * Знаменатель: $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$. Получаем: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$. Исходное неравенство равносильно следующему: $$ \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x + 3)} < 0 $$ Отметим нули числителя ($x = 2$, $x = 3$) и нули знаменателя ($x = -3$, $x = -2$) на числовой прямой выколотыми точками, так как неравенство строгое. Определим знаки выражения на получившихся интервалах: * при $x \in (3; +\infty)$: знак «$+$»; * при $x \in (2; 3)$: знак «$-$»; * при $x \in (-2; 2)$: знак «$+$»; * при $x \in (-3; -2)$: знак «$-$»; * при $x \in (-\infty; -3)$: знак «$+$». Так как требуется найти значения, при которых дробь меньше нуля, выбираем интервалы со знаком «$-$»: $$ x \in (-3; -2) \cup (2; 3) $$ Ответ: $(-3; -2) \cup (2; 3)$. б) Решим неравенство: $$ \frac{x^2 - 6x + 18}{-x^2 + 8x - 12} > 0 $$ Исследуем числитель дроби: Выделим полный квадрат: $$ x^2 - 6x + 18 = (x - 3)^2 + 9 $$ Так как $(x - 3)^2 \geqslant 0$ при любых $x$, то $(x - 3)^2 + 9 \geqslant 9 > 0$ при всех действительных $x$ (дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 36 - 72 = -36 < 0$). Поскольку числитель всегда строго положителен, знак дроби определяется знаком её знаменателя: $$ -x^2 + 8x - 12 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 - 8x + 12 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 6$. Разложим левую часть на множители: $$ (x - 2)(x - 6) < 0 $$ Используя метод интервалов, получаем: $$ x \in (2; 6) $$ Ответ: $(2; 6)$.