ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 162

**а)** Решим неравенство $x^3 - 3x - 2 < 0$. Разложим многочлен в левой части неравенства на множители. Найдем целый корень многочлена среди делителей свободного члена $\pm 1, \pm 2$. При $x = -1$: $$ (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 $$ Значит, $x = -1$ является корнем, и многочлен делится на $(x + 1)$. Выполним группировку слагаемых: $$ x^3 - 3x - 2 = x^3 + x^2 - x^2 - x - 2x - 2 = x^2(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x^2 - x - 2) $$ Разложим квадратный трехчлен $x^2 - x - 2$ на множители по теореме Виета: его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. $$ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) $$ Таким образом, многочлен принимает вид: $$ (x + 1)^2(x - 2) $$ Исходное неравенство равносильно следующему: $$ (x + 1)^2(x - 2) < 0 $$ Применим метод интервалов. Корни левой части: $x = -1$ (кратности 2) и $x = 2$ (кратности 1). Так как $(x + 1)^2 \ge 0$ при всех действительных $x$, то при $x = -1$ левая часть обращается в нуль, что не удовлетворяет строгому неравенству. При всех $x \ne -1$ множитель $(x + 1)^2 > 0$. Следовательно, неравенство выполняется при условии: $$ \begin{cases} x - 2 < 0, \\ x \ne -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 2, \\ x \ne -1 \end{cases} $$ Получаем объединение интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$. Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 2)$. --- **б)** Решим неравенство $x^3 - 3x^2 + 4 > 0$. Разложим многочлен в левой части на множители. Проверим делители свободного члена $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. При $x = -1$: $$ (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0 $$ Следовательно, $x = -1$ — корень многочлена, и многочлен делится на $(x + 1)$. Сгруппируем слагаемые: $$ x^3 - 3x^2 + 4 = x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4x + 4 = x^2(x + 1) - 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) $$ Заметим, что выражение во второй скобке представляет собой формулу квадрата разности: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Тогда исходное неравенство принимает вид: $$ (x + 1)(x - 2)^2 > 0 $$ Применим метод интервалов. Корни левой части: $x = -1$ (кратности 1) и $x = 2$ (кратности 2). Множитель $(x - 2)^2 \ge 0$ при любых $x$, причем при $x = 2$ он равен нулю (что не удовлетворяет строгому знаку «$>$»). При $x \ne 2$ множитель $(x - 2)^2 > 0$. Значит, неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ x \ne 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1, \\ x \ne 2 \end{cases} $$ Получаем объединение интервалов: $x \in (-1; 2) \cup (2; +\infty)$. Ответ: $(-1; 2) \cup (2; +\infty)$.