ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 12

a) Решим неравенство $a(x^2 - x) > 0$. Разложим многочлен в скобках на множители: $$ a \cdot x(x - 1) > 0 $$ Рассмотрим возможные значения параметра $a$: 1. При $a > 0$: Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, при этом знак неравенства сохраняется: $$ x(x - 1) > 0 $$ Корни квадратного трехчлена: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. По методу интервалов решением являются внешние промежутки: $$ x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) $$ 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot (x^2 - x) > 0 \iff 0 > 0 $$ Неравенство неверно ни при каких действительных значениях $x$. Решений нет. 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на отрицательное число $a$, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $$ x(x - 1) < 0 $$ По методу интервалов решением является внутренний интервал между корнями: $$ x \in (0; 1) $$ **Ответ:** при $a > 0$: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$; при $a = 0$: решений нет; при $a < 0$: $x \in (0; 1)$. --- b) Решим неравенство $a(x^2 + x) \ge 0$. Разложим выражение в скобках на множители: $$ a \cdot x(x + 1) \ge 0 $$ Рассмотрим возможные значения параметра $a$: 1. При $a > 0$: Разделим обе части неравенства на $a > 0$: $$ x(x + 1) \ge 0 $$ Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. По методу интервалов: $$ x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) $$ 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot (x^2 + x) \ge 0 \iff 0 \ge 0 $$ Неравенство верно при любом действительном значении $x$: $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на $a < 0$, сменив знак неравенства: $$ x(x + 1) \le 0 $$ По методу интервалов: $$ x \in [-1; 0] $$ **Ответ:** при $a > 0$: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$; при $a = 0$: $x \in (-\infty; +\infty)$; при $a < 0$: $x \in [-1; 0]$. --- 6) Решим неравенство $a(x^2 - x) \le 0$. Разложим выражение в скобках на множители: $$ a \cdot x(x - 1) \le 0 $$ Рассмотрим возможные значения параметра $a$: 1. При $a > 0$: Разделим обе части неравенства на $a > 0$: $$ x(x - 1) \le 0 $$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. По методу интервалов: $$ x \in [0; 1] $$ 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot (x^2 - x) \le 0 \iff 0 \le 0 $$ Неравенство верно для всех действительных чисел: $$ x \in (-\infty; +\infty) $$ 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на $a < 0$, сменив знак неравенства: $$ x(x - 1) \ge 0 $$ По методу интервалов: $$ x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty) $$ **Ответ:** при $a > 0$: $x \in [0; 1]$; при $a = 0$: $x \in (-\infty; +\infty)$; при $a < 0$: $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. --- 7) Решим неравенство $a(x^2 + x) < 0$. Разложим выражение в скобках на множители: $$ a \cdot x(x + 1) < 0 $$ Рассмотрим возможные значения параметра $a$: 1. При $a > 0$: Разделим обе части неравенства на $a > 0$: $$ x(x + 1) < 0 $$ Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. По методу интервалов: $$ x \in (-1; 0) $$ 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot (x^2 + x) < 0 \iff 0 < 0 $$ Неравенство неверно ни при каких значениях $x$. Решений нет. 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на $a < 0$, сменив знак неравенства: $$ x(x + 1) > 0 $$ По методу интервалов: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) $$ **Ответ:** при $a > 0$: $x \in (-1; 0)$; при $a = 0$: решений нет; при $a < 0$: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.