ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 15 - 11

**15.11.** **а)** $ax^2 < 4$ Рассмотрим три случая в зависимости от знака параметра $a$: 1. При $a < 0$: Поскольку $x^2 \ge 0$ при любых действительных $x$, то $ax^2 \le 0$. Так как любое неположительное число меньше $4$, неравенство $ax^2 < 4$ выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 < 4 \iff 0 < 4 $$ Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$. 3. При $a > 0$: Разделим обе части неравенства на положительное число $a$: $$ x^2 < \frac{4}{a} $$ $$ -\frac{2}{\sqrt{a}} < x < \frac{2}{\sqrt{a}} $$ **Ответ:** при $a \le 0$: $x \in (-\infty; +\infty)$; при $a > 0$: $x \in \left(-\frac{2}{\sqrt{a}}; \frac{2}{\sqrt{a}}\right)$. --- **б)** $ax^2 > -4$ 1. При $a > 0$: Поскольку $x^2 \ge 0$, то $ax^2 \ge 0$. Так как любое неотрицательное число строго больше $-4$, неравенство выполняется при всех $x \in \mathbb{R}$. 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 > -4 \iff 0 > -4 $$ Неравенство верно при всех $x \in \mathbb{R}$. 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на отрицательное число $a$, сменив знак неравенства на противоположный: $$ x^2 < -\frac{4}{a} $$ Так как $a < 0$, то $-\frac{4}{a} > 0$. Отсюда: $$ -\sqrt{-\frac{4}{a}} < x < \sqrt{-\frac{4}{a}} $$ $$ -\frac{2}{\sqrt{-a}} < x < \frac{2}{\sqrt{-a}} $$ **Ответ:** при $a \ge 0$: $x \in (-\infty; +\infty)$; при $a < 0$: $x \in \left(-\frac{2}{\sqrt{-a}}; \frac{2}{\sqrt{-a}}\right)$. --- **в)** $ax^2 \le -9$ 1. При $a > 0$: Так как $x^2 \ge 0$, то $ax^2 \ge 0$. Неотрицательное число не может быть меньше или равно $-9$, поэтому решений нет. 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 \le -9 \iff 0 \le -9 $$ Неравенство неверно, решений нет. 3. При $a < 0$: Разделим обе части неравенства на $a < 0$, изменив знак неравенства: $$ x^2 \ge -\frac{9}{a} $$ Так как $a < 0$, дробь $-\frac{9}{a} > 0$. Решением является совокупность: $$ x \le -\frac{3}{\sqrt{-a}} \quad \text{или} \quad x \ge \frac{3}{\sqrt{-a}} $$ **Ответ:** при $a \ge 0$: решений нет; при $a < 0$: $x \in \left(-\infty; -\frac{3}{\sqrt{-a}}\right] \cup \left[\frac{3}{\sqrt{-a}}; +\infty\right)$. --- **г)** $ax^2 \ge 16$ 1. При $a < 0$: Поскольку $x^2 \ge 0$, то $ax^2 \le 0$. Неположительное число не может быть больше или равно $16$, решений нет. 2. При $a = 0$: Неравенство принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 \ge 16 \iff 0 \ge 16 $$ Неравенство неверно, решений нет. 3. При $a > 0$: Разделим обе части на положительное число $a$: $$ x^2 \ge \frac{16}{a} $$ Решением является совокупность: $$ x \le -\frac{4}{\sqrt{a}} \quad \text{или} \quad x \ge \frac{4}{\sqrt{a}} $$ **Ответ:** при $a \le 0$: решений нет; при $a > 0$: $x \in \left(-\infty; -\frac{4}{\sqrt{a}}\right] \cup \left[\frac{4}{\sqrt{a}}; +\infty\right)$.