ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 932

1) Решим неравенство $2\cos x - \sqrt{3} < 0$. Преобразуем неравенство к простейшему виду: $$2\cos x < \sqrt{3} \iff \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Для графического решения рассмотрим графики функций $y = \cos x$ и прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график косинусоиды лежит строго ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдем абсциссы точек пересечения графика косинуса с прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[-3\pi; \pi]$, решив уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Выберем корни, принадлежащие промежутку $[-3\pi; \pi]$: - при $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$; - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. По графику определяем промежутки, где косинусоида лежит ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$: - от левого конца отрезка $x = -3\pi$ (где $\cos(-3\pi) = -1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$) до $x = -\frac{13\pi}{6}$; - между точками $x = -\frac{11\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$; - от $x = \frac{\pi}{6}$ до правого конца отрезка $x = \pi$ (где $\cos\pi = -1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$). **Ответ:** $\left[-3\pi; -\frac{13\pi}{6}\right) \cup \left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{\pi}{6}; \pi\right]$. --- 2) Решим неравенство $\sqrt{2}\sin x + 1 \geq 0$. Преобразуем неравенство к виду: $$\sqrt{2}\sin x \geq -1 \iff \sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Решением являются значения $x$, при которых график функции $y = \sin x$ лежит не ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$. Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Выберем точки, попадающие в отрезок $[-3\pi; \pi]$: - при $k = -1$: $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$; - при $k = 0$: $x = -\frac{3\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$. По графику функции $y = \sin x$ определяем интервалы, на которых синусоида лежит выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или пересекает её: - на промежутке $\left[-3\pi; -\frac{11\pi}{4}\right]$ (в точке $x = -3\pi$ значение $\sin(-3\pi) = 0 \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$); - на промежутке $\left[-\frac{9\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}\right]$; - на промежутке $\left[-\frac{\pi}{4}; \pi\right]$ (в точке $x = \pi$ значение $\sin\pi = 0 \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$). **Ответ:** $\left[-3\pi; -\frac{11\pi}{4}\right] \cup \left[-\frac{9\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}\right] \cup \left[-\frac{\pi}{4}; \pi\right]$. --- 3) Решим неравенство $\sqrt{3} + \tan x \leq 0$. Преобразуем неравенство к виду: $$\tan x \leq -\sqrt{3}$$ Функция $y = \tan x$ не определена в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$ (вертикальные асимптоты графика). На промежутке $[-3\pi; \pi]$ асимптотами являются прямые $x = -\frac{5\pi}{2}$, $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$. Найдем точки пересечения графика $y = \tan x$ с прямой $y = -\sqrt{3}$: $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Принадлежащие отрезку $[-3\pi; \pi]$: - при $k = -2$: $x = -\frac{7\pi}{3}$; - при $k = -1$: $x = -\frac{4\pi}{3}$; - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{3}$; - при $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3}$. На каждом периоде график тангенса лежит не выше прямой $y = -\sqrt{3}$ справа от вертикальной асимптоты до точки пересечения включительно. С учетом заданного отрезка $[-3\pi; \pi]$ получаем: - на интервале $\left[-3\pi; -\frac{5\pi}{2}\right)$ тангенс принимает значения $\tan x \geq 0$, решений нет; - на интервале $\left(-\frac{5\pi}{2}; -\frac{7\pi}{3}\right]$; - на интервале $\left(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{4\pi}{3}\right]$; - на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}\right]$; - на интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right]$. **Ответ:** $\left(-\frac{5\pi}{2}; -\frac{7\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{4\pi}{3}\right] \cup \left(-\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left(\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right]$. --- 4) Решим неравенство $3\tan x - 2 > 0$. Преобразуем неравенство: $$3\tan x > 2 \iff \tan x > \frac{2}{3}$$ График тангенса должен лежать строго выше горизонтальной прямой $y = \frac{2}{3}$. Точки пересечения графика $y = \tan x$ с прямой $y = \frac{2}{3}$: $$x = \arctan\frac{2}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ На каждом периоде тангенсоида лежит выше прямой $y = \frac{2}{3}$ на интервале: $$\left(\arctan\frac{2}{3} + \pi k; \, \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$ Найдем эти промежутки, принадлежащие отрезку $[-3\pi; \pi]$: - при $k = -3$: интервал $\left(\arctan\frac{2}{3} - 3\pi; \, -\frac{5\pi}{2}\right)$, так как $0 < \arctan\frac{2}{3} < \frac{\pi}{2}$, левый конец больше $-3\pi$; - при $k = -2$: интервал $\left(\arctan\frac{2}{3} - 2\pi; \, -\frac{3\pi}{2}\right)$; - при $k = -1$: интервал $\left(\arctan\frac{2}{3} - \pi; \, -\frac{\pi}{2}\right)$; - при $k = 0$: интервал $\left(\arctan\frac{2}{3}; \, \frac{\pi}{2}\right)$; - при $k = 1$ левая граница $\arctan\frac{2}{3} + \pi > \pi$, что выходит за пределы заданного отрезка. **Ответ:** $\left(\arctan\frac{2}{3} - 3\pi; -\frac{5\pi}{2}\right) \cup \left(\arctan\frac{2}{3} - 2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(\arctan\frac{2}{3} - \pi; -\frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\arctan\frac{2}{3}; \frac{\pi}{2}\right)$.