ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 934

**933.** Решим неравенство: $$ \sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x. $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется $-1 \le \cos 4x \le 1$, получаем: $$ 7 - \cos 4x \ge 7 - 1 = 6 > 0, $$ следовательно, подкоренное выражение всегда положительно: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} \ge 3 > 0. $$ Значит, неравенство определено при всех $x \in \mathbb{R}$, а левая часть неравенства строго положительна при любом $x$. 2. Преобразуем подкоренное выражение с помощью формул косинуса двойного угла: $$ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1) - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1. $$ Подставим полученное выражение в числитель дроби: $$ 7 - \cos 4x = 7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1) = 6 + 8\cos^2 x - 8\cos^4 x. $$ Разделим на $2$: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} = 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x. $$ 3. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства. **Случай 1:** Правая часть неположительна: $$ -2\cos x \le 0 \iff \cos x \ge 0. $$ Так как левая часть неравенства строго положительна, неравенство вида «положительное число $>$ неположительное число» выполняется автоматически при всех $\cos x \ge 0$. **Случай 2:** Правая часть строго положительна: $$ -2\cos x > 0 \iff \cos x < 0. $$ В этом случае обе части неравенства положительны, поэтому можно возвести обе части в четвёртую степень с сохранением знака неравенства: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} > (-2\cos x)^4, $$ $$ 3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x > 16\cos^4 x, $$ $$ 20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0. $$ Пусть $t = \cos^2 x$. Получаем квадратное неравенство: $$ 20t^2 - 4t - 3 < 0. $$ Корни квадратного трехчлена $20t^2 - 4t - 3 = 0$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 16 + 240 = 256 = 16^2, $$ $$ t_1 = \frac{4 - 16}{40} = -\frac{3}{10}, \quad t_2 = \frac{4 + 16}{40} = \frac{1}{2}. $$ Решением квадратного неравенства является интервал: $$ -\frac{3}{10} < t < \frac{1}{2}. $$ Возвращаясь к переменной $x$ и учитывая, что $t = \cos^2 x \ge 0$, имеем: $$ 0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2}. $$ Так как в данном случае $\cos x < 0$, получаем: $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0. $$ 4. Объединим решения из обоих случаев: $$ \cos x \ge 0 \quad \text{или} \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 0 \iff \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Решим простейшее тригонометрическое неравенство $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ с помощью единичной окружности: $$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **934.** Решим неравенство: $$ \sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\sin x. $$ 1. Область допустимых значений — вся числовая прямая ($x \in \mathbb{R}$), так как подкоренное выражение строго положительно при любом значении $x$: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} \ge \frac{7 - 1}{2} = 3 > 0. $$ Следовательно, левая часть неравенства всегда определена и строго больше нуля. 2. Выразим $\cos 4x$ через $\sin x$: $$ \cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x = 1 - 2(2\sin x \cos x)^2 = 1 - 8\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 8\sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 8\sin^4 x - 8\sin^2 x + 1. $$ Тогда подкоренное выражение принимает вид: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} = \frac{7 - (8\sin^4 x - 8\sin^2 x + 1)}{2} = \frac{6 + 8\sin^2 x - 8\sin^4 x}{2} = 3 + 4\sin^2 x - 4\sin^4 x. $$ 3. Рассмотрим два случая. **Случай 1:** Правая часть неположительна: $$ -2\sin x \le 0 \iff \sin x \ge 0. $$ Поскольку левая часть положительна, а правая неположительна, неравенство верно для всех таких $x$. **Случай 2:** Правая часть строго положительна: $$ -2\sin x > 0 \iff \sin x < 0. $$ Обе части неравенства положительны, возведём их в четвёртую степень: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} > (-2\sin x)^4, $$ $$ 3 + 4\sin^2 x - 4\sin^4 x > 16\sin^4 x, $$ $$ 20\sin^4 x - 4\sin^2 x - 3 < 0. $$ Пусть $u = \sin^2 x$. Получаем квадратное неравенство: $$ 20u^2 - 4u - 3 < 0. $$ Корни трехчлена: $$ u_1 = -\frac{3}{10}, \quad u_2 = \frac{1}{2}. $$ Отсюда: $$ -\frac{3}{10} < u < \frac{1}{2}. $$ Так как $u = \sin^2 x \ge 0$, то: $$ 0 \le \sin^2 x < \frac{1}{2}. $$ С учётом условия случая $\sin x < 0$: $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0. $$ 4. Объединим решения Случая 1 и Случая 2: $$ \sin x \ge 0 \quad \text{или} \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0 \iff \sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Решим неравенство $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ с помощью единичной окружности: $$ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z}$.