ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 933

**933.** Решим неравенство: $$ \sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным. Так как для любого значения $x$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos 4x \le 1$, то: $$ 6 \le 7 - \cos 4x \le 8 $$ $$ 3 \le \frac{7 - \cos 4x}{2} \le 4 $$ Следовательно, подкоренное выражение строго положительно при всех действительных $x$, и левая часть неравенства определена на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. При этом $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > 0$. **2. Рассмотрение случаев по знаку правой части:** Разобьем решение на два случая в зависимости от знака выражения в правой части неравенства. * **Случай 1:** $-2\cos x < 0 \iff \cos x > 0$. Левая часть неравенства положительна, а правая — строго отрицательна. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство выполняется при всех $\cos x > 0$. * **Случай 2:** $-2\cos x \ge 0 \iff \cos x \le 0$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в четвертую степень с сохранением знака неравенства: $$ \frac{7 - \cos 4x}{2} > (-2\cos x)^4 $$ $$ 7 - \cos 4x > 32\cos^4 x $$ Выразим $\cos 4x$ через $\cos x$, используя формулу косинуса двойного угла: $$ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 2(4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1) - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1 $$ Подставим полученное выражение в неравенство: $$ 7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1) > 32\cos^4 x $$ $$ 6 - 8\cos^4 x + 8\cos^2 x > 32\cos^4 x $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ 40\cos^4 x - 8\cos^2 x - 6 < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $2$: $$ 20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0 $$ Пусть $t = \cos^2 x$. Так как в данном случае $\cos x \le 0$, то $t \in [0; 1]$. Получаем квадратное неравенство: $$ 20t^2 - 4t - 3 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $20t^2 - 4t - 3 = 0$: $$ D_1 = (-2)^2 - 20 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $$ $$ t_1 = \frac{2 - 8}{20} = -\frac{3}{10}, \quad t_2 = \frac{2 + 8}{20} = \frac{1}{2} $$ Решением неравенства $20t^2 - 4t - 3 < 0$ является интервал: $$ -\frac{3}{10} < t < \frac{1}{2} $$ С учетом условия $t = \cos^2 x \ge 0$: $$ 0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2} $$ Так как для второго случая рассматривается условие $\cos x \le 0$, получаем: $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0 $$ **3. Объединение решений:** Объединяя результаты первого случая ($\cos x > 0$) и второго случая ($-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0$), приходим к неравенству: $$ \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ **4. Решение простейшего тригонометрического неравенства:** Решим неравенство $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ с помощью единичной окружности: Точки, в которых $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют углам $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Значения $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ лежат правее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует дуге единичной окружности, содержащей точку $0$: $$ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right), \, k \in \mathbb{Z}$.