ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 929

### 1) Решить неравенство: $$ \frac{\sqrt{3x^3 - 22x^2 + 40x}}{x - 4} \geqslant 3x - 10 $$ Разложим подкоренное выражение на множители: $$ 3x^3 - 22x^2 + 40x = x(3x^2 - 22x + 40) $$ Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 22x + 40 = 0$: $$ D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 $$ $$ x_1 = \frac{22 - 2}{6} = \frac{10}{3}, \quad x_2 = \frac{22 + 2}{6} = 4 $$ Таким образом, подкоренное выражение равно $x(x - 4)(3x - 10)$. **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} x(x - 4)(3x - 10) \geqslant 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} $$ Применяя метод интервалов для подкоренного выражения, получаем: $$ x \in \left[0; \frac{10}{3}\right] \cup (4; +\infty) $$ **2. Решение неравенства на ОДЗ:** Рассмотрим два случая в зависимости от знака знаменателя $(x - 4)$. * **Случай 1:** $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right]$. В этом случае $x - 4 < 0$. Умножим обе части неравенства на $(x - 4)$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \sqrt{x(x - 4)(3x - 10)} \leqslant (3x - 10)(x - 4) $$ Заметим, что при $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right]$ множители $(3x - 10) \leqslant 0$ и $(x - 4) < 0$, следовательно, их произведение $(3x - 10)(x - 4) \geqslant 0$. Если $x = \frac{10}{3}$, получаем: $$ \sqrt{0} \leqslant 0 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \iff 0 \leqslant 0 \quad \text{— верно.} $$ Значит, $x = \frac{10}{3}$ является решением. При $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right)$ обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ x(x - 4)(3x - 10) \leqslant (x - 4)^2 (3x - 10)^2 $$ Так как $(x - 4)(3x - 10) > 0$ при $x < \frac{10}{3}$, разделим обе части на это выражение: $$ x \leqslant (x - 4)(3x - 10) $$ $$ x \leqslant 3x^2 - 22x + 40 $$ $$ 3x^2 - 23x + 40 \geqslant 0 $$ Найдем корни уравнения $3x^2 - 23x + 40 = 0$: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 529 - 480 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{23 - 7}{6} = \frac{8}{3}, \quad x_2 = \frac{23 + 7}{6} = 5 $$ Решением неравенства $3x^2 - 23x + 40 \geqslant 0$ является: $$ x \in \left(-\infty; \frac{8}{3}\right] \cup [5; +\infty) $$ Пересекая с условием $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right)$, получаем $x \in \left[0; \frac{8}{3}\right]$. Объединяя с решением $x = \frac{10}{3}$, получаем для первого случая: $$ x \in \left[0; \frac{8}{3}\right] \cup \left\{\frac{10}{3}\right\} $$ * **Случай 2:** $x \in (4; +\infty)$. В этом случае $x - 4 > 0$. Умножим обе части исходного неравенства на $(x - 4)$ без изменения знака: $$ \sqrt{x(x - 4)(3x - 10)} \geqslant (3x - 10)(x - 4) $$ При $x > 4$ выражение $(3x - 10)(x - 4) > 0$. Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $$ x(x - 4)(3x - 10) \geqslant (x - 4)^2 (3x - 10)^2 $$ Разделим обе части на $(x - 4)(3x - 10) > 0$: $$ x \geqslant (x - 4)(3x - 10) $$ $$ 3x^2 - 23x + 40 \leqslant 0 $$ $$ x \in \left[\frac{8}{3}; 5\right] $$ С учетом условия $x \in (4; +\infty)$, получаем: $$ x \in (4; 5] $$ Объединяем решения обоих случаев. **Ответ:** $\left[0; \frac{8}{3}\right] \cup \left\{\frac{10}{3}\right\} \cup (4; 5]$ --- ### 2) Решить неравенство: $$ \frac{\sqrt{2x^3 - 22x^2 + 60x}}{x - 6} \geqslant 2x - 10 $$ Разложим подкоренное выражение на множители: $$ 2x^3 - 22x^2 + 60x = 2x(x^2 - 11x + 30) = 2x(x - 5)(x - 6) = x(2x - 10)(x - 6) $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** $$ \begin{cases} 2x(x - 5)(x - 6) \geqslant 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases} $$ Применяя метод интервалов: $$ x \in [0; 5] \cup (6; +\infty) $$ **2. Решение неравенства на ОДЗ:** * **Случай 1:** $x \in [0; 5]$. Здесь $x - 6 < 0$. Умножим обе части неравенства на $(x - 6)$, меняя знак: $$ \sqrt{x(2x - 10)(x - 6)} \leqslant (2x - 10)(x - 6) $$ При $x \in [0; 5]$ множители $(2x - 10) \leqslant 0$ и $(x - 6) < 0$, поэтому их произведение $(2x - 10)(x - 6) \geqslant 0$. Если $x = 5$: $$ \sqrt{0} \leqslant 0 \cdot (-1) \iff 0 \leqslant 0 \quad \text{— верно.} $$ Значит, $x = 5$ — решение. При $x \in [0; 5)$ выражение $(2x - 10)(x - 6) > 0$, обе части неотрицательны. Возведем в квадрат: $$ x(2x - 10)(x - 6) \leqslant (2x - 10)^2 (x - 6)^2 $$ Разделим на положительное выражение $(2x - 10)(x - 6)$: $$ x \leqslant (2x - 10)(x - 6) $$ $$ x \leqslant 2x^2 - 22x + 60 $$ $$ 2x^2 - 23x + 60 \geqslant 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 - 23x + 60 = 0$: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{23 - 7}{4} = 4, \quad x_2 = \frac{23 + 7}{4} = 7{,}5 $$ Решение неравенства $2x^2 - 23x + 60 \geqslant 0$: $$ x \in (-\infty; 4] \cup [7{,}5; +\infty) $$ Пересекая с условием $x \in [0; 5)$, получаем $x \in [0; 4]$. Объединяя с точкой $x = 5$: $$ x \in [0; 4] \cup \{5\} $$ * **Случай 2:** $x \in (6; +\infty)$. Здесь $x - 6 > 0$. Умножим обе части неравенства на $(x - 6)$: $$ \sqrt{x(2x - 10)(x - 6)} \geqslant (2x - 10)(x - 6) $$ При $x > 6$ выражение $(2x - 10)(x - 6) > 0$. Обе части положительны, возведем в квадрат: $$ x(2x - 10)(x - 6) \geqslant (2x - 10)^2 (x - 6)^2 $$ Разделим на $(2x - 10)(x - 6) > 0$: $$ x \geqslant (2x - 10)(x - 6) $$ $$ 2x^2 - 23x + 60 \leqslant 0 $$ $$ x \in [4; 7{,}5] $$ С учетом условия $x \in (6; +\infty)$: $$ x \in (6; 7{,}5] $$ Объединяем результаты обоих случаев. **Ответ:** $[0; 4] \cup \{5\} \cup (6; 7{,}5]$