ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 914

**1)** Решим неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{x-1}\right) \leqslant 0$$ Так как основание внешнего логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция убывает. Заменим $0$ на $\log_{\frac{1}{2}} 1$ и перейдём к подлогарифмическому выражению, изменив знак неравенства на противоположный (при этом условие положительности аргумента внешнего логарифма выполнится автоматически): $$\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{x-1} \geqslant 1$$ Так как $1 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ и основание снова $0 < \frac{1}{2} < 1$, при переходе к аргументу знак неравенства меняется, а также учитывается область допустимых значений (аргумент логарифма строго больше нуля): $$0 < \frac{3x+1}{x-1} \leqslant \frac{1}{2}$$ Получаем систему двух неравенств: $$\begin{cases} \dfrac{3x+1}{x-1} > 0 \\[2ex] \dfrac{3x+1}{x-1} \leqslant \dfrac{1}{2} \end{cases}$$ Решим первое неравенство методом интервалов: Нули числителя и знаменателя: $x = -\frac{1}{3}$, $x = 1$. $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty)$$ Решим второе неравенство: $$\frac{3x+1}{x-1} - \frac{1}{2} \leqslant 0$$ $$\frac{2(3x+1) - (x-1)}{2(x-1)} \leqslant 0$$ $$\frac{6x + 2 - x + 1}{2(x-1)} \leqslant 0$$ $$\frac{5x + 3}{2(x-1)} \leqslant 0$$ Нули числителя и знаменателя: $x = -\frac{3}{5}$, $x = 1$. Применяя метод интервалов, получаем: $$x \in \left[-\frac{3}{5}; 1\right)$$ Найдём пересечение решений обоих неравенств: $$\begin{cases} x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right) \cup (1; +\infty) \\[1ex] x \in \left[-\frac{3}{5}; 1\right) \end{cases}$$ Сравнивая числа $-\frac{3}{5} = -0{,}6$ и $-\frac{1}{3} \approx -0{,}33$, получаем общий промежуток: $$x \in \left[-\frac{3}{5}; -\frac{1}{3}\right)$$ **Ответ к пункту 1:** $\left[-\frac{3}{5}; -\frac{1}{3}\right)$ --- **2)** Решим неравенство: $$\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2 - 5)) > 0$$ *(Примечание: в условии содержится опечатка в основании внешнего логарифма — основание логарифма не может быть равным $1$, в учебнике основанием является $\frac{1}{3}$).* Так как основание внешнего логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ убывает. Представим $0$ как $\log_{\frac{1}{3}} 1$. Неравенство равносильно двойному неравенству с учётом того, что подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$0 < \log_4(x^2 - 5) < 1$$ Так как основание логарифма $4 > 1$, функция $y = \log_4 u$ возрастает. Представим $0 = \log_4 1$, а $1 = \log_4 4$: $$1 < x^2 - 5 < 4$$ Прибавим $5$ ко всем частям двойного неравенства: $$6 < x^2 < 9$$ Данное двойное неравенство равносильно системе: $$\begin{cases} x^2 > 6 \\ x^2 < 9 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство: 1) $x^2 - 6 > 0 \iff (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}) > 0 \iff x \in (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$ 2) $x^2 - 9 < 0 \iff (x - 3)(x + 3) < 0 \iff x \in (-3; 3)$ Пересекаем полученные промежутки: $$x \in (-3; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; 3)$$ **Ответ к пункту 2:** $(-3; -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; 3)$