ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 911

**1)** $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а под знаком логарифма — строго положительным: $$ \begin{cases} \lg x \ge 0, \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 10^0, \\ x > 0 \end{cases} \iff x \ge 1 $$ 2. Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат: $$ (\sqrt{\lg x})^2 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ $$ \lg x < \frac{1}{4} $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y = \lg x$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ x < 10^{\frac{1}{4}} $$ $$ x < \sqrt[4]{10} $$ 3. С учётом ОДЗ ($x \ge 1$) получаем: $$ 1 \le x < \sqrt[4]{10} $$ **Ответ:** $x \in [1; \sqrt[4]{10})$. --- **2)** $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2$ *(в условии основанием логарифма является $\frac{1}{2}$, так как основание логарифма не может быть равным $1$)* 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0, \\ 2x + 6 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0, \\ x > -3 \end{cases} \iff x > 0 $$ 2. Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $$ 2 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} $$ Преобразуем правую часть неравенства с помощью свойства суммы логарифмов: $$ \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}}\left((2x+6) \cdot \frac{1}{4}\right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{x+3}{2} $$ Неравенство принимает вид: $$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} \frac{x+3}{2} $$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ является убывающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям меняем знак неравенства на противоположный: $$ x > \frac{x+3}{2} $$ Умножим обе части на $2$: $$ 2x > x + 3 $$ $$ x > 3 $$ 3. С учётом ОДЗ ($x > 0$) получаем: $$ x > 3 $$ **Ответ:** $x \in (3; +\infty)$.