ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 912

1) Решим неравенство: $$ \log_{0,5}(1 + 2x) > -1 $$ Представим число $-1$ в виде логарифма по основанию $0,5$: $$ -1 = \log_{0,5}(0,5)^{-1} = \log_{0,5} 2 $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \log_{0,5}(1 + 2x) > \log_{0,5} 2 $$ Так как основание логарифма удовлетворяет условию $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Переходим к подлогарифмическим выражениям, меняя знак неравенства на противоположный и учитывая область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 1 + 2x > 0, \\ 1 + 2x < 2 \end{cases} $$ Решим полученную систему линейных неравенств: $$ \begin{cases} 2x > -1, \\ 2x < 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > -0,5, \\ x < 0,5 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ -0,5 < x < 0,5 $$ **Ответ:** $(-0,5; 0,5)$. --- 2) Решим неравенство: $$ \log_3(1 - 2x) < -1 $$ Представим число $-1$ в виде логарифма по основанию $3$: $$ -1 = \log_3\left(3^{-1}\right) = \log_3 \frac{1}{3} $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \log_3(1 - 2x) < \log_3 \frac{1}{3} $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Переходим к подлогарифмическим выражениям с сохранением знака неравенства и с учётом ОДЗ: $$ \begin{cases} 1 - 2x > 0, \\ 1 - 2x < \frac{1}{3} \end{cases} $$ Решим систему: $$ \begin{cases} -2x > -1, \\ -2x < \frac{1}{3} - 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2x > -1, \\ -2x < -\frac{2}{3} \end{cases} $$ Разделим обе части каждого неравенства на $-2$, изменив знаки неравенств на противоположные: $$ \begin{cases} x < \frac{1}{2}, \\ x > \frac{1}{3} \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} $$ **Ответ:** $\left(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}\right)$.