ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 917

**917.** **1) Решить неравенство:** $$\log_{|2x+1|}x^2 \geqslant 2$$ **Решение:** 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: - выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $$x^2 > 0 \iff x \ne 0;$$ - основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $$|2x+1| > 0 \iff 2x+1 \ne 0 \iff x \ne -\frac{1}{2},$$ $$|2x+1| \ne 1 \iff 2x+1 \ne 1 \text{ и } 2x+1 \ne -1 \iff x \ne 0 \text{ и } x \ne -1.$$ Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup \left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right) \cup (0; +\infty)$. 2. Представим число $2$ в виде логарифма по основанию $|2x+1|$: $$2 = \log_{|2x+1|}(|2x+1|^2) = \log_{|2x+1|}(2x+1)^2.$$ Неравенство принимает вид: $$\log_{|2x+1|}x^2 \geqslant \log_{|2x+1|}(2x+1)^2.$$ 3. Применим метод рационализации (метод знакотождественных множителей): на ОДЗ неравенство $\log_a f - \log_a g \geqslant 0$ равносильно неравенству $(a - 1)(f - g) \geqslant 0$. $$(|2x+1| - 1)\bigl(x^2 - (2x+1)^2\bigr) \geqslant 0.$$ Так как для любого $a > 0$ разность $|a| - 1$ имеет тот же знак, что и $a^2 - 1$, получаем: $$|2x+1| - 1 \sim (2x+1)^2 - 1^2 = (2x+1 - 1)(2x+1 + 1) = 2x(2x+2) = 4x(x+1).$$ Разложим второй множитель по формуле разности квадратов: $$x^2 - (2x+1)^2 = (x - (2x+1))(x + (2x+1)) = (-x - 1)(3x + 1) = -(x+1)(3x+1).$$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$4x(x+1) \cdot \bigl(-(x+1)(3x+1)\bigr) \geqslant 0,$$ $$-4x(x+1)^2(3x+1) \geqslant 0,$$ $$x(x+1)^2(3x+1) \leqslant 0.$$ 4. Решим полученное неравенство методом интервалов: - нули функции: $x = -1$ (кратности 2), $x = -\frac{1}{3}$, $x = 0$; - расставим знаки на числовой прямой: - при $x > 0$: выражение $> 0$; - при $-\frac{1}{3} < x < 0$: выражение $< 0$; - при $-1 < x < -\frac{1}{3}$: выражение $> 0$; - при $x < -1$: выражение $> 0$. С учетом знака $\leqslant$ решением данного алгебраического неравенства является: $$x = -1 \quad \text{или} \quad x \in \left[-\frac{1}{3}; 0\right].$$ 5. Пересечем полученный результат с ОДЗ ($x \ne -1$, $x \ne -\frac{1}{2}$, $x \ne 0$): - точка $x = -1$ не входит в ОДЗ; - точка $x = 0$ не входит в ОДЗ; - точка $x = -\frac{1}{2}$ лежит левее отрезка $\left[-\frac{1}{3}; 0\right]$ ($-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$). Получаем: $$x \in \left[-\frac{1}{3}; 0\right).$$ **Ответ к пункту 1:** $\left[-\frac{1}{3}; 0\right)$ --- **2) Решить неравенство:** $$\log_{x^2}|3x+1| < \frac{1}{2}$$ **Решение:** 1. Найдем ОДЗ неравенства: - выражение под знаком логарифма: $$|3x+1| > 0 \iff 3x+1 \ne 0 \iff x \ne -\frac{1}{3};$$ - основание логарифма: $$x^2 > 0 \iff x \ne 0,$$ $$x^2 \ne 1 \iff x \ne \pm 1.$$ Таким образом, ОДЗ: $x \ne \pm 1$, $x \ne -\frac{1}{3}$, $x \ne 0$. 2. Представим правую часть в виде логарифма по основанию $x^2$: $$\frac{1}{2} = \log_{x^2}(x^2)^{\frac{1}{2}} = \log_{x^2}\sqrt{x^2} = \log_{x^2}|x|.$$ Неравенство принимает вид: $$\log_{x^2}|3x+1| < \log_{x^2}|x|.$$ 3. Применим метод рационализации: на ОДЗ неравенство $\log_a f - \log_a g < 0$ равносильно неравенству $(a - 1)(f - g) < 0$. $$(x^2 - 1)(|3x+1| - |x|) < 0.$$ Так как для положительных величин $A$ и $B$ разность $A - B$ совпадает по знаку с $A^2 - B^2$, то: $$|3x+1| - |x| \sim (3x+1)^2 - x^2 = (3x+1 - x)(3x+1 + x) = (2x+1)(4x+1).$$ Неравенство принимает вид: $$(x^2 - 1)(2x+1)(4x+1) < 0,$$ $$(x-1)(x+1)(2x+1)(4x+1) < 0.$$ 4. Решим неравенство методом интервалов: - нули множителей в порядке возрастания: $$-1 < -\frac{1}{2} < -\frac{1}{4} < 1;$$ - определяем знаки произведения на интервалах: - при $x \in (1; +\infty)$: $+$ - при $x \in \left(-\frac{1}{4}; 1\right)$: $-$ - при $x \in \left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right)$: $+$ - при $x \in \left(-1; -\frac{1}{2}\right)$: $-$ - при $x \in (-\infty; -1)$: $+$ Знак неравенства строго меньше нуля, следовательно: $$x \in \left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{4}; 1\right).$$ 5. Пересечем полученные интервалы с ОДЗ: - точки $x = -1$ и $x = 1$ уже исключены строгими границами интервалов; - точка $x = -\frac{1}{3}$ попадает в промежуток $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}\right)$, так как $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$, а этот промежуток не входит в решение; - точка $x = 0$ лежит внутри интервала $\left(-\frac{1}{4}; 1\right)$ и должна быть исключена. Получаем: $$x \in \left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{4}; 0\right) \cup (0; 1).$$ **Ответ к пункту 2:** $\left(-1; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{4}; 0\right) \cup (0; 1)$