ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 916

**1)** Решим неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}\left(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}\right) \leqslant 0$$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Запишем $0$ как $\log_{\frac{1}{2}} 1$: $$\log_{\frac{1}{2}}\left(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}\right) \leqslant \log_{\frac{1}{2}} 1$$ При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$1 + x - \sqrt{x^2 - 4} \geqslant 1$$ Вычтем $1$ из обеих частей неравенства: $$x - \sqrt{x^2 - 4} \geqslant 0$$ $$\sqrt{x^2 - 4} \leqslant x$$ Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а неотрицательный корень не может быть меньше или равен отрицательному числу, перейдём к равносильной системе (условие $1 + x - \sqrt{x^2 - 4} \geqslant 1 > 0$ выполняется автоматически): $$\begin{cases} x^2 - 4 \geqslant 0 \\ x \geqslant 0 \\ x^2 - 4 \leqslant x^2 \end{cases}$$ Решим каждое неравенство системы: 1. $x^2 - 4 \geqslant 0 \iff (x - 2)(x + 2) \geqslant 0 \iff x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$; 2. $x \geqslant 0$; 3. $x^2 - 4 \leqslant x^2 \iff -4 \leqslant 0$ — верно при любых значениях $x$. Найдём пересечение решений: $$\begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \\ x \geqslant 0 \end{cases} \iff x \geqslant 2$$ Ответ: $[2; +\infty)$. --- **2)** Решим неравенство: $$\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0$$ Пусть $\log_5(3 - 2x) = t$. Получаем рациональное неравенство относительно $t$: $$\frac{1}{t} - \frac{1}{4 - t} < 0$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{(4 - t) - t}{t(4 - t)} < 0$$ $$\frac{4 - 2t}{t(4 - t)} < 0$$ Разделим числитель на $2$: $$\frac{2 - t}{t(4 - t)} < 0$$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$, чтобы старшие коэффициенты стали положительными: $$\frac{t - 2}{t(t - 4)} < 0$$ Применим метод интервалов для переменной $t$. Нули числителя и знаменателя: $t = 0$, $t = 2$, $t = 4$. Знаки выражения $\frac{t - 2}{t(t - 4)}$ на интервалах: - при $t \in (-\infty; 0)$ выражение отрицательно ($-$), - при $t \in (0; 2)$ выражение положительно ($+$), - при $t \in (2; 4)$ выражение отрицательно ($-$), - при $t \in (4; +\infty)$ выражение положительно ($+$). Следовательно: $$t < 0 \quad \text{или} \quad 2 < t < 4$$ Вернёмся к переменной $x$, учитывая, что основание логарифма $5 > 1$ (функция возрастает): 1. Случай $t < 0$: $$\log_5(3 - 2x) < 0$$ По определению логарифма подлогарифмическое выражение должно быть положительным: $$0 < 3 - 2x < 5^0$$ $$0 < 3 - 2x < 1$$ Вычтем $3$ из всех частей двойного неравенства: $$-3 < -2x < -2$$ Разделим на $-2$, изменив знаки неравенства: $$1 < x < 1{,}5$$ 2. Случай $2 < t < 4$: $$2 < \log_5(3 - 2x) < 4$$ $$5^2 < 3 - 2x < 5^4$$ $$25 < 3 - 2x < 625$$ Вычтем $3$ из всех частей двойного неравенства: $$22 < -2x < 622$$ Разделим на $-2$, изменив знаки неравенства: $$-311 < x < -11$$ Объединяем полученные интервалы: $$x \in (-311; -11) \cup (1; 1{,}5)$$ Ответ: $(-311; -11) \cup (1; 1{,}5)$.