ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 837

### 837 **1)** $$ 3^{x-7} = 81 $$ Представим правую часть уравнения как степень с основанием $3$: $$ 81 = 3^4 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ 3^{x-7} = 3^4 $$ Так как основания степеней равны и отличны от единицы, приравниваем их показатели: $$ x - 7 = 4 $$ $$ x = 4 + 7 $$ $$ x = 11 $$ **Ответ:** $x = 11$. --- **2)** $$ 2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2} $$ Запишем арифметический квадратный корень в виде степени с основанием $2$: $$ \sqrt{2} = 2^{0,5} $$ Получаем: $$ 2^{x^2 - 5x + 6,5} = 2^{0,5} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x^2 - 5x + 6,5 = 0,5 $$ $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5, \\ x_1 \cdot x_2 = 6 \end{cases} $$ Отсюда находим корни: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 $$ **Ответ:** $x_1 = 2$; $x_2 = 3$. --- **3)** $$ \left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = 2^{2x+6} $$ Преобразуем выражение в левой части уравнения, приведя основание к степени числа $2$: $$ \frac{1}{4} \cdot 4^x = 4^{-1} \cdot 4^x = 4^{x-1} = \left(2^2\right)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ \left(2^{2x-2}\right)^x = 2^{2x+6} $$ $$ 2^{(2x-2)x} = 2^{2x+6} $$ $$ 2^{2x^2 - 2x} = 2^{2x+6} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x^2 - 2x = 2x + 6 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2x^2 - 4x - 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2, \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} $$ Корни уравнения: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = 3 $$ **Ответ:** $x_1 = -1$; $x_2 = 3$.