ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 839

**839.** **1)** $$ 5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)} $$ Представим основание правой части уравнения в виде произведения простых множителей: $35 = 5 \cdot 7$. Тогда: $$ 35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{5x+6}{2}} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}} $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ 5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}} $$ Разделим обе части уравнения на выражение $5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{3x+1} \neq 0$: $$ \frac{5^{2x+5}}{5^{\frac{5x+6}{2}}} = \frac{7^{\frac{5x+6}{2}}}{7^{3x+1}} $$ Используя свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, преобразуем показатели: Для основания $5$: $$ (2x + 5) - \frac{5x + 6}{2} = \frac{4x + 10 - 5x - 6}{2} = \frac{4 - x}{2} $$ Для основания $7$: $$ \frac{5x + 6}{2} - (3x + 1) = \frac{5x + 6 - 6x - 2}{2} = \frac{4 - x}{2} $$ Уравнение принимает вид: $$ 5^{\frac{4-x}{2}} = 7^{\frac{4-x}{2}} $$ Разделим обе части уравнения на $7^{\frac{4-x}{2}} \neq 0$: $$ \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{4-x}{2}} = 1 $$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$, запишем: $$ \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{4-x}{2}} = \left(\frac{5}{7}\right)^0 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ \frac{4 - x}{2} = 0 $$ $$ 4 - x = 0 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $4$. --- **2)** $$ 0,2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6 $$ Приведем все степени к основанию $5$. Заметим, что: $$ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1} $$ $$ \left(\frac{1}{5}\right)^6 = (5^{-1})^6 = 5^{-6} $$ Подставим эти значения в уравнение: $$ (5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6} $$ $$ 5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6} $$ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $$ 5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6} $$ Так как основания равны и отличны от единицы, приравниваем показатели степеней: $$ -x^2 + 2x + 2 = -6 $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $$ -x^2 + 2x + 8 = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $-1$: $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = -8 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = -2 $$ Ответ: $-2$; $4$.