ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 833

**833.** **1)** Решить уравнение: $$2\sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} = \sqrt{x+5}$$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{1-x}$ в правую часть уравнения, чтобы обе части были неотрицательными: $$2\sqrt{x+4} = \sqrt{x+5} + \sqrt{1-x}$$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x + 4 \ge 0, \\ x + 5 \ge 0, \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -4, \\ x \ge -5, \\ x \le 1 \end{cases} \iff x \in [-4; 1]$$ Так как обе части уравнения неотрицательны на ОДЗ, возведём их в квадрат: $$(2\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{x+5} + \sqrt{1-x})^2$$ $$4(x+4) = (x+5) + 2\sqrt{(x+5)(1-x)} + (1-x)$$ $$4x + 16 = 6 + 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$$ $$4x + 10 = 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$$ Разделим обе части на $2$: $$2x + 5 = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}$$ Левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $$2x + 5 \ge 0 \iff x \ge -2{,}5$$ С учётом ОДЗ получаем: $x \in [-2{,}5; 1]$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$(2x + 5)^2 = -x^2 - 4x + 5$$ $$4x^2 + 20x + 25 = -x^2 - 4x + 5$$ $$5x^2 + 24x + 20 = 0$$ Решим полученное квадратное уравнение: $$D = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 576 - 400 = 176$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}$$ $$x_{1,2} = \frac{-24 \pm 4\sqrt{11}}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{11}}{5}$$ Оценим полученные корни: * Для $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$: так как $3 < \sqrt{11} < 4$, то $6 < 2\sqrt{11} < 8$, откуда $-6 < -12 + 2\sqrt{11} < -4$, то есть $-1{,}2 < x_1 < -0{,}8$. Значит, $x_1 \in [-2{,}5; 1]$ — корень подходит. * Для $x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5}$: так как $-12 - 2\sqrt{11} < -12 - 6 = -18$, то $x_2 < -\frac{18}{5} = -3{,}6$. Значит, $x_2 \notin [-2{,}5; 1]$ — посторонний корень. Ответ: $x = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$. --- **2)** Решить уравнение: $$\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x} = \sqrt{x^2 - 1}$$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x + 2 \ge 0, \\ 3 - 2x \ge 0, \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2, \\ x \le 1{,}5, \\ x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \end{cases}$$ Пересекая эти промежутки, получаем ОДЗ: $$x \in [-2; -1] \cup [1; 1{,}5]$$ Обе части уравнения неотрицательны при всех $x$ из ОДЗ. Возведём обе части в квадрат: $$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x})^2 = (\sqrt{x^2 - 1})^2$$ $$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3-2x)} + (3-2x) = x^2 - 1$$ $$-x + 5 + 2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 - 1$$ $$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 + x - 6$$ Проанализируем знаки левой и правой частей уравнения на ОДЗ: 1. Левая часть уравнения неотрицательна по определению арифметического квадратного корня: $$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} \ge 0$$ 2. Для правой части рассмотрим выражение $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$. Квадратичная функция $y = x^2 + x - 6$ принимает отрицательные значения на интервале $(-3; 2)$. Вся область допустимых значений $x \in [-2; -1] \cup [1; 1{,}5]$ целиком лежит внутри интервала $(-3; 2)$, следовательно, при всех допустимых $x$: $$x^2 + x - 6 < 0$$ Так как левая часть уравнения неотрицательна ($\ge 0$), а правая часть строго отрицательна ($< 0$) при любых $x$ из ОДЗ, равенство невозможно. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: решений нет.