ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 792

1) Запишем комплексное число в алгебраической форме $a + bi$: $$ z = 4\left(\cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3}\right) $$ Выделим целое число периодов у аргумента: $$ \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $$ Используя периодичность тригонометрических функций с периодом $2\pi$, вычислим значения косинуса и синуса: $$ \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ $$ \sin \frac{7\pi}{3} = \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Подставим найденные значения в исходное выражение и раскроем скобки: $$ z = 4\left(\frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} i = 2 + 2\sqrt{3}i $$ 2) Запишем комплексное число в алгебраической форме $a + bi$: $$ z = 6\left(\cos \frac{9\pi}{4} + i \sin \frac{9\pi}{4}\right) $$ Выделим период $2\pi$ у аргумента: $$ \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} $$ Используя формулы приведения и периодичность функций, найдем значения косинуса и синуса: $$ \cos \frac{9\pi}{4} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin \frac{9\pi}{4} = \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Подставим найденные значения и раскроем скобки: $$ z = 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} i = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i $$ Ответ: 1) $2 + 2\sqrt{3}i$; 2) $3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i$.