ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 793

1) Подставим табличные значения косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$: $$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Раскроем скобки: $$ 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ: $\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$. 2) Сначала перемножим сомножители, записанные в тригонометрической форме. При умножении комплексных чисел с единичными модулями их аргументы складываются: $$ \left(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}\right) $$ Вычислим сумму углов: $$ \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} $$ Тогда произведение равно: $$ \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i $$ Умножим полученное число на $(1 + i)$: $$ (1 + i) \cdot i = i + i^2 = i - 1 = -1 + i $$ Ответ: $-1 + i$. 3) При делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются: $$ \frac{\cos\frac{7\pi}{10} + i\sin\frac{7\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5}} = \cos\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5}\right) $$ Приведем аргументы к общему знаменателю: $$ \frac{7\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi - 2\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $$ Подставим полученный угол: $$ \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i $$ Ответ: $i$. 4) Представим мнимую единицу $i$ в числителе в тригонометрической форме: $$ i = 0 + 1 \cdot i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} $$ Выполним деление, вычитая аргумент знаменателя из аргумента числителя: $$ \frac{\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} $$ Запишем результат в алгебраической форме: $$ \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$.