ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 789

### 789 **1)** Докажем тождество: $$ \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{1 - \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha} $$ Преобразуем левую часть тождества. В числителе применим формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 \alpha = \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, а затем разложим его как разность квадратов: $$ 1 - 2\sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) $$ В знаменателе представим единицу как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ 1 + \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 $$ Подставим полученные выражения в левую часть и сократим дробь на $(\cos \alpha + \sin \alpha)$: $$ \frac{1 - 2 \sin^2 \alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} $$ Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на $\cos \alpha$ (при $\cos \alpha \neq 0$): $$ \frac{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 - \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha} $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{1}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = 1 + \frac{\left(1 - \text{tg}^2 \alpha\right)^2}{4 \text{tg}^2 \alpha} $$ Преобразуем правую часть тождества. Приведем слагаемые к общему знаменателю: $$ 1 + \frac{(1 - \text{tg}^2 \alpha)^2}{4 \text{tg}^2 \alpha} = \frac{4 \text{tg}^2 \alpha + (1 - 2\text{tg}^2 \alpha + \text{tg}^4 \alpha)}{4 \text{tg}^2 \alpha} = \frac{1 + 2\text{tg}^2 \alpha + \text{tg}^4 \alpha}{4 \text{tg}^2 \alpha} = \frac{(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2}{4 \text{tg}^2 \alpha} $$ Воспользуемся формулами $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \frac{(1 + \text{tg}^2 \alpha)^2}{4 \text{tg}^2 \alpha} = \frac{\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha}\right)^2}{4 \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\frac{1}{\cos^4 \alpha}}{\frac{4 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos^4 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{4 \sin^2 \alpha} = \frac{1}{4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $$ Получили выражение, равное левой части. Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество: $$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $$ Преобразуем левую часть тождества по формуле тангенса суммы: $$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg} \alpha} $$ Так как $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем: $$ \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha} = \frac{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на $(\cos \alpha + \sin \alpha)$: $$ \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} $$ Используя формулы основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ и косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем: $$ \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{1 + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} $$ Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- **4)** Докажем тождество: $$ \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} = \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) $$ Преобразуем правую часть тождества. Используем определение котангенса $\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}$ и формулу тангенса суммы: $$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg} \alpha} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg} \alpha} = \frac{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} $$ Тогда котангенс равен: $$ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \left(\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}\right)^2 = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2} $$ Раскроем скобки в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cos^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2\sin \alpha \cos \alpha}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha} $$ Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла: $$ \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $$ Правая часть равна левой части. Тождество доказано.