ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 791

Тригонометрическая форма комплексного числа $z = a + bi$ имеет вид: $$ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) $$ где $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — модуль комплексного числа ($r \ge 0$), а угол $\varphi$ — его аргумент, определяемый из соотношений: $$ \cos\varphi = \frac{a}{r}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{r} $$ --- **1)** $z = 2$ Здесь $a = 2$, $b = 0$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{2}{2} = 1, \quad \sin\varphi = \frac{0}{2} = 0 \implies \varphi = 0 $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ 2 = 2(\cos 0 + i\sin 0) $$ --- **2)** $z = -3$ Здесь $a = -3$, $b = 0$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{-3}{3} = -1, \quad \sin\varphi = \frac{0}{3} = 0 \implies \varphi = \pi $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ -3 = 3(\cos\pi + i\sin\pi) $$ --- **3)** $z = 3i$ Здесь $a = 0$, $b = 3$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{0}{3} = 0, \quad \sin\varphi = \frac{3}{3} = 1 \implies \varphi = \frac{\pi}{2} $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ 3i = 3\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) $$ --- **4)** $z = -2i$ Здесь $a = 0$, $b = -2$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{0}{2} = 0, \quad \sin\varphi = \frac{-2}{2} = -1 \implies \varphi = \frac{3\pi}{2} \quad \left(\text{или } \varphi = -\frac{\pi}{2}\right) $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ -2i = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) $$ --- **5)** $z = \sqrt{3} - i$ Здесь $a = \sqrt{3}$, $b = -1$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\varphi = -\frac{1}{2} $$ Так как косинус положителен, а синус отрицателен, точка лежит в IV координатной четверти: $$ \varphi = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \quad \left(\text{или } \varphi = -\frac{\pi}{6}\right) $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ \sqrt{3} - i = 2\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) $$ --- **6)** $z = 2 - 2i$ Здесь $a = 2$, $b = -2$. 1. Найдём модуль числа: $$ r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ 2. Найдём аргумент $\varphi$: $$ \cos\varphi = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\varphi = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как $\cos\varphi > 0$, а $\sin\varphi < 0$, угол находится в IV координатной четверти: $$ \varphi = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \quad \left(\text{или } \varphi = -\frac{\pi}{4}\right) $$ 3. Запишем число в тригонометрической форме: $$ 2 - 2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) $$