ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 788

**№ 788** Доказать тождество: $$ 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 4 \cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) $$ **Доказательство:** Преобразуем правую часть равенства, применив формулу произведения косинусов: $$ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) $$ Положим $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}$ и $y = \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}$. Тогда: $$ x + y = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $$ $$ x - y = \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $$ Подставим эти выражения в произведение: $$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + \cos \alpha\right) $$ Так как $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, получаем: $$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos \alpha\right) $$ Теперь подставим полученный результат в правую часть исходного тождества: $$ 4 \cos \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = 4 \cos \alpha \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos \alpha\right) = 2 \cos \alpha \left(\frac{1}{2} + \cos \alpha\right) $$ Раскроем скобки: $$ 2 \cos \alpha \cdot \frac{1}{2} + 2 \cos \alpha \cdot \cos \alpha = \cos \alpha + 2\cos^2 \alpha $$ Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$: $$ \cos \alpha + (1 + \cos 2\alpha) = 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha $$ Полученное выражение совпадает с левой частью исходного равенства: $$ 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha $$ Тождество доказано.