ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 764

Для упрощения выражения преобразуем каждую дробь отдельно с помощью тригонометрических формул. 1. Преобразуем первую дробь: Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, откуда: $$ 1 - 2\cos^2\alpha = -(2\cos^2\alpha - 1) = -\cos 2\alpha $$ Подставим это выражение в знаменатель первой дроби: $$ \frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2\cos^2\alpha)} = \frac{\sin 2\alpha}{2(-\cos 2\alpha)} = -\frac{\sin 2\alpha}{2\cos 2\alpha} = -\frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha $$ 2. Преобразуем вторую дробь: В числителе применим формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ \sin \alpha \cos(\pi - \alpha) = -\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2}\sin 2\alpha $$ В знаменателе применим формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos 2\alpha$: $$ \sqrt{1 - 2\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos 2\alpha} $$ Тогда вторая дробь принимает вид: $$ \frac{\sin \alpha \cos(\pi - \alpha)}{\sqrt{1 - 2\sin^2\alpha}} = \frac{-\frac{1}{2}\sin 2\alpha}{\sqrt{\cos 2\alpha}} = -\frac{\sin 2\alpha}{2\sqrt{\cos 2\alpha}} $$ 3. Сложим полученные выражения: $$ -\frac{\sin 2\alpha}{2\cos 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{2\sqrt{\cos 2\alpha}} = -\frac{\sin 2\alpha}{2\cos 2\alpha}\left(1 + \sqrt{\cos 2\alpha}\right) = -\frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha \left(1 + \sqrt{\cos 2\alpha}\right) $$ *(Примечание: если в условии опечатка и квадратный корень во второй дроби отсутствует, то есть знаменатель равен $1 - 2\sin^2\alpha$, то вторая дробь равна $-\frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha$, а значение всего выражения равно $-\frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha - \frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha = -\operatorname{tg} 2\alpha$).* Ответ: $-\frac{1}{2}\operatorname{tg} 2\alpha \left(1 + \sqrt{\cos 2\alpha}\right)$ (при отсутствии знака корня в условии: $-\operatorname{tg} 2\alpha$).