ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 766

1) Разложим выражение $1 + \cos \alpha + \sin \alpha$ на множители. Сгруппируем слагаемые и применим формулу половинного угла $1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$, а также формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}$: $$ 1 + \cos \alpha + \sin \alpha = (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} $$ Вынесем общий множитель $2\cos \frac{\alpha}{2}$ за скобки: $$ = 2\cos \frac{\alpha}{2}\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right) $$ Выражение в скобках можно также преобразовать в произведение с помощью формулы вспомогательного угла: $\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$. Тогда: $$ = 2\sqrt{2}\cos \frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right) $$ **Ответ:** $2\cos \frac{\alpha}{2}\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)$ (или $2\sqrt{2}\cos \frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$). --- 2) Разложим выражение $1 - \cos \alpha - \sin \alpha$ на множители. Используем формулы $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ и $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}$: $$ 1 - \cos \alpha - \sin \alpha = (1 - \cos \alpha) - \sin \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} $$ Вынесем общий множитель $2\sin \frac{\alpha}{2}$ за скобки: $$ = 2\sin \frac{\alpha}{2}\left(\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}\right) $$ Преобразуем разность в скобках: $\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$. Тогда: $$ = 2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) $$ **Ответ:** $2\sin \frac{\alpha}{2}\left(\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}\right)$ (или $2\sqrt{2}\sin \frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$). --- 3) Разложим выражение $3 - 4\sin^2 \alpha$ на множители. Применим формулу понижения степени $2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$: $$ 3 - 4\sin^2 \alpha = 3 - 2 \cdot (2\sin^2 \alpha) = 3 - 2(1 - \cos 2\alpha) = 3 - 2 + 2\cos 2\alpha = 1 + 2\cos 2\alpha $$ Вынесем $2$ за скобки и представим $\frac{1}{2}$ как $\cos \frac{\pi}{3}$: $$ = 2\left(\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\right) = 2\left(\cos 2\alpha + \cos \frac{\pi}{3}\right) $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$ = 2 \cdot 2\cos\frac{2\alpha + \frac{\pi}{3}}{2}\cos\frac{2\alpha - \frac{\pi}{3}}{2} = 4\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $$ *(Заметим, что также можно представить выражение как разность квадратов: $(\sqrt{3} - 2\sin\alpha)(\sqrt{3} + 2\sin\alpha)$).* **Ответ:** $4\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$. --- 4) Разложим выражение $1 - 4\cos^2 \alpha$ на множители. Применим формулу понижения степени $2\cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$: $$ 1 - 4\cos^2 \alpha = 1 - 2 \cdot (2\cos^2 \alpha) = 1 - 2(1 + \cos 2\alpha) = 1 - 2 - 2\cos 2\alpha = -1 - 2\cos 2\alpha $$ Вынесем $-2$ за скобки и запишем $\frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$: $$ = -2\left(\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\right) = -2\left(\cos 2\alpha + \cos \frac{\pi}{3}\right) $$ Применим формулу суммы косинусов: $$ = -2 \cdot 2\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = -4\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $$ Перейдя к кофункциям (синусам), результат можно также записать без знака минус: $$ = 4\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) $$ *(В виде разности квадратов: $(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$).* **Ответ:** $-4\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$ (или $4\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)$).