ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 761

1) Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами: $$ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ Подставим эти соотношения в исходное выражение: $$ \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{1} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha $$ 2) Раскроем скобки в первом слагаемом, учитывая, что $\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 1$: $$ (1 + \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{ctg} \alpha) = 1 + \operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha = 1 + \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha + 1 = 2 + \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha $$ Преобразуем сумму $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ (1 + \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{ctg} \alpha) - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2 + \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2 $$ Ответ: 1) $\operatorname{tg}^2 \alpha$; 2) $2$.