ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 765

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $$ \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} $$ 1. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. 2. Разложим числители обеих дробей по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$, $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$. 3. Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} - \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} $$ 4. Сократим первую дробь на $(1 + \sin x)$, а вторую — на $(1 - \cos x)$ (при допустимых значениях переменной $x$, когда знаменатели не равны нулю): $$ (1 - \sin x) - (1 + \cos x) $$ 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 1 - \sin x - 1 - \cos x = -\sin x - \cos x $$ В результате преобразований получено выражение, равное правой части тождества: $$ -\sin x - \cos x = -\sin x - \cos x $$ Тождество доказано.