ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 763

**763.** 1) Упростим выражение: $$ \sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi) $$ Функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$ являются периодическими с периодом $2\pi$, то есть для любого целого числа $k$ справедливы равенства: $$ \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha, \quad \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha $$ Так как $8\pi = 2\pi \cdot 4$ и $10\pi = 2\pi \cdot 5$, получаем: * $\sin(\alpha + 8\pi) = \sin \alpha$, следовательно, $\sin^2(\alpha + 8\pi) = \sin^2 \alpha$; * $\cos(\alpha + 10\pi) = \cos \alpha$, следовательно, $\cos^2(\alpha + 10\pi) = \cos^2 \alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, имеем: $$ \sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ 2) Упростим выражение: $$ \cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi) $$ Используя периодичность косинуса с периодом $2\pi$: * $6\pi = 2\pi \cdot 3$, поэтому $\cos(\alpha + 6\pi) = \cos \alpha$, откуда $\cos^2(\alpha + 6\pi) = \cos^2 \alpha$; * $-4\pi = 2\pi \cdot (-2)$, поэтому $\cos(\alpha - 4\pi) = \cos \alpha$, откуда $\cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2 \alpha$. Сложим полученные слагаемые: $$ \cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha $$ **Ответ:** 1) $1$; 2) $2\cos^2 \alpha$.