ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 762

Преобразуем левую часть тождества. 1. Упростим числитель: Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ 1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 - (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $$ $$ = 1 - (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = -2\sin \alpha \cos \alpha $$ 2. Упростим знаменатель: Заменим $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, приведем к общему знаменателю и используем равенство $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$: $$ \sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha = \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ $$ = \frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} $$ 3. Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{-2\sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2\operatorname{tg}^2 \alpha $$ В результате преобразований левая часть тождества равна правой части: $$ 2\operatorname{tg}^2 \alpha = 2\operatorname{tg}^2 \alpha $$ Тождество доказано.