ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 727

Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $b > 0$. Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $b$: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{ab}{b^2}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} $$ Отсюда также следует соотношение: $$ \sqrt{ab} = b \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} $$ 1) Пусть $\sqrt{ab}$ — рациональное число. Так как $b$ — натуральное число, оно является рациональным ($b \in \mathbb{Q}$ и $b \neq 0$). Частное рационального числа $\sqrt{ab}$ и натурального числа $b$ есть рациональное число: $$ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} \in \mathbb{Q} $$ Значит, $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — рациональное число. 2) Пусть $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Докажем методом от противного, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также иррационально. Предположим, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — рациональное число. Тогда его произведение на натуральное число $b$ должно быть рациональным числом: $$ \sqrt{ab} = b \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} \in \mathbb{Q} $$ Получили противоречие с условием, что $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение неверно, и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число. Оба утверждения доказаны.