ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 730

1) Чтобы доказать, что точка с координатой $x_0 = \dfrac{a + b}{2}$ является серединой отрезка $[a; b]$, достаточно показать, что она равноудалена от его концов $a$ и $b$, то есть расстояния от точки $x_0$ до точек $a$ и $b$ равны. Так как по условию $a < b$, найдем расстояние от левого конца отрезка $a$ до точки $x_0$: $$ x_0 - a = \frac{a + b}{2} - a = \frac{a + b - 2a}{2} = \frac{b - a}{2} $$ Найдем расстояние от точки $x_0$ до правого конца отрезка $b$: $$ b - x_0 = b - \frac{a + b}{2} = \frac{2b - (a + b)}{2} = \frac{b - a}{2} $$ Поскольку $b > a$, разность $b - a > 0$, следовательно: $$ x_0 - a = b - x_0 = \frac{b - a}{2} > 0 $$ Это означает, что $a < x_0 < b$ и точка $x_0$ находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка. Следовательно, точка $\dfrac{a + b}{2}$ — середина отрезка $[a; b]$. 2) Точка $x = \dfrac{a + bc}{1 + c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$, если выполняется двойное неравенство $a < x < b$. Рассмотрим разность $x - a$: $$ x - a = \frac{a + bc}{1 + c} - a = \frac{a + bc - a(1 + c)}{1 + c} = \frac{a + bc - a - ac}{1 + c} = \frac{c(b - a)}{1 + c} $$ По условию $b > a$ (откуда $b - a > 0$) и $c > 0$ (откуда $1 + c > 0$). Произведение и частное положительных чисел положительны, значит: $$ \frac{c(b - a)}{1 + c} > 0 \implies x - a > 0 \implies x > a $$ Рассмотрим разность $b - x$: $$ b - x = b - \frac{a + bc}{1 + c} = \frac{b(1 + c) - (a + bc)}{1 + c} = \frac{b + bc - a - bc}{1 + c} = \frac{b - a}{1 + c} $$ Так как $b - a > 0$ и $1 + c > 0$, получаем: $$ \frac{b - a}{1 + c} > 0 \implies b - x > 0 \implies x < b $$ Объединяя оба неравенства, имеем: $$ a < \frac{a + bc}{1 + c} < b $$ Следовательно, точка $\dfrac{a + bc}{1 + c}$ лежит внутри отрезка $[a; b]$.