ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 724

1) $0,(4)$ Пусть $x = 0,(4) = 0,444\dots$ Умножим обе части равенства на $10$: $$ 10x = 4,(4) $$ Вычтем из полученного уравнения исходное: $$ 10x - x = 4,(4) - 0,(4) $$ $$ 9x = 4 $$ $$ x = \frac{4}{9} $$ Итог: $0,(4) = \frac{4}{9}$. 2) $2,(7)$ Запишем число как сумму целой и дробной частей: $$ 2,(7) = 2 + 0,(7) $$ Пусть $x = 0,(7) = 0,777\dots$, тогда: $$ 10x = 7,(7) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 10x - x = 7,(7) - 0,(7) $$ $$ 9x = 7 \implies x = \frac{7}{9} $$ Подставим полученное значение: $$ 2,(7) = 2 + \frac{7}{9} = 2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} $$ Итог: $2,(7) = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$. 3) $0,(21)$ Пусть $x = 0,(21) = 0,212121\dots$ Так как в периоде содержатся две цифры, умножим обе части равенства на $100$: $$ 100x = 21,(21) $$ Вычтем исходное уравнение: $$ 100x - x = 21,(21) - 0,(21) $$ $$ 99x = 21 $$ $$ x = \frac{21}{99} $$ Сократим числитель и знаменатель на $3$: $$ x = \frac{7}{33} $$ Итог: $0,(21) = \frac{7}{33}$. 4) $1,(36)$ Выделим целую часть: $$ 1,(36) = 1 + 0,(36) $$ Пусть $x = 0,(36) = 0,363636\dots$, тогда: $$ 100x = 36,(36) $$ Вычтем исходное уравнение: $$ 100x - x = 36,(36) - 0,(36) $$ $$ 99x = 36 \implies x = \frac{36}{99} $$ Сократим дробь на $9$: $$ x = \frac{4}{11} $$ Сложим с целой частью: $$ 1,(36) = 1 + \frac{4}{11} = 1\frac{4}{11} = \frac{15}{11} $$ Итог: $1,(36) = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11}$. 5) $0,3(5)$ Пусть $x = 0,3(5) = 0,3555\dots$ Умножим равенство на $10$, чтобы переместить цифру до периода влево от запятой: $$ 10x = 3,(5) $$ Умножим равенство на $100$, чтобы переместить один период влево от запятой: $$ 100x = 35,(5) $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ 100x - 10x = 35,(5) - 3,(5) $$ $$ 90x = 32 $$ $$ x = \frac{32}{90} $$ Сократим числитель и знаменатель на $2$: $$ x = \frac{16}{45} $$ Итог: $0,3(5) = \frac{16}{45}$. **Ответ:** 1) $\frac{4}{9}$; 2) $\frac{25}{9}$ (или $2\frac{7}{9}$); 3) $\frac{7}{33}$; 4) $\frac{15}{11}$ (или $1\frac{4}{11}$); 5) $\frac{16}{45}$.