ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 729

**1)** Даны промежутки $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$. Чтобы определить, имеют ли промежутки общие точки, сравним правый конец первого отрезка и левый конец второго: $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3} + 4$. Оба числа положительны, возведём их в квадрат: $$ (3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2 = 18 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} + 28 = 46 + 12\sqrt{14} $$ $$ (3\sqrt{3} + 4)^2 = 27 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 + 16 = 43 + 24\sqrt{3} $$ Рассмотрим разность их квадратов: $$ (46 + 12\sqrt{14}) - (43 + 24\sqrt{3}) = 3 + 12\sqrt{14} - 24\sqrt{3} = 3 + 12(\sqrt{14} - 2\sqrt{3}) $$ Так как $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$, а $14 > 12$, получаем: $$ \sqrt{14} > 2\sqrt{3} \implies \sqrt{14} - 2\sqrt{3} > 0 $$ Следовательно, разность квадратов положительна: $$ (3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2 > (3\sqrt{3} + 4)^2 \implies 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} > 3\sqrt{3} + 4 $$ Так как $1 < 3\sqrt{3} + 4 < 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} < 15$, промежутки пересекаются по отрезку $[3\sqrt{3} + 4; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$. **Ответ:** имеют общие точки. --- **2)** Даны промежутки $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10)$. Упростим выражения с корнями: $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Сравним правый конец первого интервала и левый конец второго: $3\sqrt{3} + \sqrt{6}$ и $4\sqrt{3} - 1$. Найдём их разность: $$ (3\sqrt{3} + \sqrt{6}) - (4\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 4\sqrt{3} + 1 = 1 + \sqrt{6} - \sqrt{3} $$ Так как $6 > 3$, то $\sqrt{6} > \sqrt{3}$, откуда $\sqrt{6} - \sqrt{3} > 0$. Значит: $$ 1 + \sqrt{6} - \sqrt{3} > 0 \implies \sqrt{27} + \sqrt{6} > \sqrt{48} - 1 $$ При этом $\sqrt{48} - 1 > \sqrt{36} - 1 = 5 > 0$, а $\sqrt{27} + \sqrt{6} < \sqrt{36} + \sqrt{9} = 9 < 10$. Получаем: $0 < \sqrt{48} - 1 < \sqrt{27} + \sqrt{6} < 10$. Пересечением интервалов является интервал $(\sqrt{48} - 1; \sqrt{27} + \sqrt{6})$. **Ответ:** имеют общие точки. --- **3)** Даны промежутки $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$. Внесём множители под знак корня: $$ 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} = \sqrt{20} + \sqrt{24} $$ $$ 3\sqrt{2} + \sqrt{22} = \sqrt{18} + \sqrt{22} $$ Сравним слагаемые попарно: так как $20 > 18$, то $\sqrt{20} > \sqrt{18}$; так как $24 > 22$, то $\sqrt{24} > \sqrt{22}$. Складывая почленно два верных неравенства одного знака, получаем: $$ \sqrt{20} + \sqrt{24} > \sqrt{18} + \sqrt{22} \implies 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} > 3\sqrt{2} + \sqrt{22} $$ Так как $2 < 3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} < 11$, данные промежутки пересекаются по промежутку $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$. **Ответ:** имеют общие точки. --- **4)** Даны промежутки $[1; 1 + \sqrt{3}]$ и $\left( \frac{2}{\sqrt{3} - 1}; 4 \right)$. Преобразуем левый конец второго промежутка, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$ \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = 1 + \sqrt{3} $$ Таким образом, заданы промежутки: $$ [1; 1 + \sqrt{3}] \quad \text{и} \quad (1 + \sqrt{3}; 4) $$ Для любого числа $x$ из первого промежутка выполняется неравенство $x \le 1 + \sqrt{3}$, а для любого числа $x$ из второго промежутка — строгое неравенство $x > 1 + \sqrt{3}$. Граничная точка $1 + \sqrt{3}$ принадлежит первому промежутку, но не принадлежит второму. Значит, общих точек у данных промежутков нет. **Ответ:** не имеют общих точек.