ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 7

### 1. Выполнить действия: 1) Сложим действительные и мнимые части: $$(3 + i) + (5 - 2i) = (3 + 5) + (1 - 2)i = 8 - i$$ Ответ: $8 - i$. 2) Вычтем действительные и мнимые части: $$(6 - i) - (2 + 3i) = (6 - 2) + (-1 - 3)i = 4 - 4i$$ Ответ: $4 - 4i$. 3) Перемножим двучлены, учитывая, что $i^2 = -1$: $$(7 + i)(10 - i) = 7 \cdot 10 - 7i + 10i - i^2 = 70 + 3i - (-1) = 71 + 3i$$ Ответ: $71 + 3i$. 4) Умножим числитель и знаменатель дроби на число $(7 - 3i)$, сопряженное знаменателю: $$\frac{5 - 2i}{7 + 3i} = \frac{(5 - 2i)(7 - 3i)}{(7 + 3i)(7 - 3i)} = \frac{35 - 15i - 14i + 6i^2}{7^2 - (3i)^2} = \frac{35 - 29i - 6}{49 + 9} = \frac{29 - 29i}{58} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$ Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$. --- ### 2. Вычислить: 1) Приведем дроби к общему знаменателю $(2 - 5i)(2 + 5i) = 2^2 + 5^2 = 29$: $$\frac{2 + 5i}{2 - 5i} + \frac{2 - 5i}{2 + 5i} = \frac{(2 + 5i)^2 + (2 - 5i)^2}{(2 - 5i)(2 + 5i)}$$ Раскроем скобки в числителе: $$(2 + 5i)^2 + (2 - 5i)^2 = (4 + 20i - 25) + (4 - 20i - 25) = (-21 + 20i) + (-21 - 20i) = -42$$ Получаем: $$\frac{-42}{29} = -\frac{42}{29} = -1\frac{13}{29}$$ Ответ: $-\frac{42}{29}$. 2) Найдем степени мнимой единицы: $$i^{11} = i^{8+3} = (i^4)^2 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$$ $$i^7 = i^{4+3} = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$$ Подставим найденные значения в выражение: $$\frac{1 + i^{11}}{2 - i^7} = \frac{1 - i}{2 - (-i)} = \frac{1 - i}{2 + i}$$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $(2 - i)$: $$\frac{1 - i}{2 + i} = \frac{(1 - i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i - 2i + i^2}{2^2 + 1^2} = \frac{2 - 3i - 1}{5} = \frac{1 - 3i}{5}$$ Возведем полученное число в квадрат: $$\left(\frac{1 - 3i}{5}\right)^2 = \frac{(1 - 3i)^2}{25} = \frac{1 - 6i + 9i^2}{25} = \frac{1 - 6i - 9}{25} = \frac{-8 - 6i}{25} = -\frac{8}{25} - \frac{6}{25}i$$ Ответ: $-\frac{8}{25} - \frac{6}{25}i$ (или $-0,32 - 0,24i$). --- ### 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) Число $z = -1 + i\sqrt{3}$, где $a = -1$, $b = \sqrt{3}$. Найдем модуль: $$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ Найдем аргумент $\varphi$: $$\cos \varphi = \frac{a}{r} = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Точка лежит во второй координатной четверти, следовательно: $$\varphi = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ Тригонометрическая форма числа: $$z = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$$ Ответ: $2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right)$. 2) Число $z = \sin \frac{\pi}{5} - i \cos \frac{\pi}{5}$. Модуль числа равен: $$r = \sqrt{\sin^2 \frac{\pi}{5} + \left(-\cos \frac{\pi}{5}\right)^2} = \sqrt{\sin^2 \frac{\pi}{5} + \cos^2 \frac{\pi}{5}} = 1$$ Используем формулы приведения для перехода к стандартному виду $\cos \varphi + i \sin \varphi$: $$\sin \frac{\pi}{5} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}\right) = \cos \frac{3\pi}{10}$$ $$-\cos \frac{\pi}{5} = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}\right) = -\sin \frac{3\pi}{10} = \sin\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$$ Так как косинус — четная функция, $\cos \frac{3\pi}{10} = \cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$, получаем: $$z = \cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$$ (или, если брать главный аргумент в интервале $[0; 2\pi)$: $\varphi = 2\pi - \frac{3\pi}{10} = \frac{17\pi}{10}$, тогда $z = \cos \frac{17\pi}{10} + i \sin \frac{17\pi}{10}$). Ответ: $\cos\left(-\frac{3\pi}{10}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$. --- ### 4. Решить уравнение: 1) $z^2 + 5 = 0$ $$z^2 = -5$$ $$z^2 = 5i^2$$ $$z_{1,2} = \pm i\sqrt{5}$$ Ответ: $z = \pm i\sqrt{5}$. 2) $z^2 - 10z + 34 = 0$ Найдем дискриминант уравнения: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 100 - 136 = -36 = (6i)^2$$ Корни уравнения: $$z_{1,2} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 6i}{2} = 5 \pm 3i$$ Ответ: $z_1 = 5 + 3i$, $z_2 = 5 - 3i$. --- ### 5. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию $|z| = 3$. Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда модуль числа $z$ равен: $$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ По условию $\sqrt{x^2 + y^2} = 3$, возводя обе части равенства в квадрат, получаем: $$x^2 + y^2 = 9$$ Это уравнение окружности с центром в начале координат $O(0; 0)$ и радиусом $R = 3$. Ответ: окружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $3$. --- ### 6. Записать в алгебраической форме комплексное число: $$z = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$$ Подставим табличные значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$z = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{4} + \frac{2}{4}i = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$$ Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$. --- ### 7. Выполнить действия: 1) При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы складываются: $$(\cos 18^\circ + i \sin 18^\circ)(\cos 42^\circ + i \sin 42^\circ) = \cos(18^\circ + 42^\circ) + i \sin(18^\circ + 42^\circ)$$ $$= \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ$ (или $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$). 2) При делении модули делятся, а аргументы вычитаются: $$\frac{9 \left( \cos \frac{7\pi}{3} + i \sin \frac{7\pi}{3} \right)}{18 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)} = \frac{9}{18} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{3} - \frac{4\pi}{3}\right) \right)$$ $$= \frac{1}{2} (\cos \pi + i \sin \pi) = \frac{1}{2}(-1 + 0i) = -\frac{1}{2}$$ Ответ: $-\frac{1}{2}$. 3) Применим формулу Муавра: $$\left(\sqrt{5} \left( \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8} \right)\right)^4 = (\sqrt{5})^4 \left( \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right)$$ $$= 25 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 25 (0 + i \cdot 1) = 25i$$ Ответ: $25i$. --- ### 8. На множестве комплексных чисел решить уравнение: 1) $z^4 = 16$ Перенесем слагаемое в левую часть и разложим разность квадратов: $$z^4 - 16 = 0$$ $$(z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0$$ $$(z - 2)(z + 2)(z^2 - (2i)^2) = 0$$ $$(z - 2)(z + 2)(z - 2i)(z + 2i) = 0$$ Приравнивая каждую скобку к нулю, находим 4 корня: $$z_1 = 2, \quad z_2 = -2, \quad z_3 = 2i, \quad z_4 = -2i$$ Ответ: $\pm 2; \; \pm 2i$. 2) $z^3 = 64$ Разложим разность кубов: $$z^3 - 64 = 0$$ $$(z - 4)(z^2 + 4z + 16) = 0$$ Первый корень: $$z - 4 = 0 \implies z_1 = 4$$ Решим квадратное уравнение $z^2 + 4z + 16 = 0$: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 = (i\sqrt{48})^2 = (4i\sqrt{3})^2$$ $$z_{2,3} = \frac{-4 \pm 4i\sqrt{3}}{2} = -2 \pm 2i\sqrt{3}$$ Ответ: $z_1 = 4$, $z_2 = -2 + 2i\sqrt{3}$, $z_3 = -2 - 2i\sqrt{3}$.