ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 5

# Проверь себя! ### Часть 1 **1. Найти:** 1) $P_7$ Используем формулу числа перестановок $P_n = n!$: $$ P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040 $$ Ответ: $5040$. 2) $A_8^3$ Используем формулу числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$: $$ A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336 $$ Ответ: $336$. 3) $C_8^3$ Используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$: $$ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ Ответ: $56$. 4) $\frac{P_6}{A_7^5}$ Вычислим значения числителя и знаменателя: $$ P_6 = 6! = 720 $$ $$ A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 $$ Тогда: $$ \frac{P_6}{A_7^5} = \frac{720}{2520} = \frac{72}{252} = \frac{2}{7} $$ Ответ: $\frac{2}{7}$. --- **2. Упростить:** 1) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}$ По определению факториала $(n+1)! = (n-1)! \cdot n \cdot (n+1)$ при $n \ge 1$, $n \in \mathbb{N}$: $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n-1)! \cdot n(n+1)}{(n-1)!} = n(n+1) = n^2 + n $$ Ответ: $n(n+1)$ (или $n^2 + n$). 2) $\frac{(n-4)!}{(n-2)!}$ Распишем знаменатель: $(n-2)! = (n-4)! \cdot (n-3) \cdot (n-2)$ при $n \ge 4$, $n \in \mathbb{N}$: $$ \frac{(n-4)!}{(n-2)!} = \frac{(n-4)!}{(n-4)!(n-3)(n-2)} = \frac{1}{(n-3)(n-2)} = \frac{1}{n^2 - 5n + 6} $$ Ответ: $\frac{1}{(n-3)(n-2)}$ (или $\frac{1}{n^2 - 5n + 6}$). --- **3. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из девяти различных предметов?** Порядок выбора предметов не имеет значения, поэтому используем число сочетаний из 9 по 3: $$ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 $$ Ответ: $84$ способами. --- **4. В одном классе изучается 10 разных учебных предметов. В пятницу завуч должен поставить в расписание этого класса 4 различных предмета. Сколькими способами он может это сделать?** Порядок предметов в расписании (1-й, 2-й, 3-й, 4-й урок) имеет значение, поэтому используем формулу числа размещений из 10 элементов по 4: $$ A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 $$ Ответ: $5040$ способами. --- **5. Сколькими разными способами можно разместить 6 групп школьников в шести классных комнатах (по одной группе в комнате)?** Количество способов распределить 6 различных групп по 6 комнатам равно числу перестановок из 6 элементов: $$ P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 $$ Ответ: $720$ способами. --- **6. Сколько существует трёхзначных цифровых кодов, в которых нет одинаковых цифр?** Всего существует 10 цифр (от 0 до 9). Так как это цифровой код, он может начинаться с нуля. Выбираются 3 различные цифры из 10 с учётом их порядка расположения: $$ A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 $$ Ответ: $720$ кодов. --- **7. Записать разложение бинома:** 1) $(x + y)^6$ Используем формулу бинома Ньютона: $$ (x + y)^6 = C_6^0 x^6 + C_6^1 x^5 y + C_6^2 x^4 y^2 + C_6^3 x^3 y^3 + C_6^4 x^2 y^4 + C_6^5 x y^5 + C_6^6 y^6 $$ Коэффициенты равны: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$. $$ (x + y)^6 = x^6 + 6x^5 y + 15x^4 y^2 + 20x^3 y^3 + 15x^2 y^4 + 6xy^5 + y^6 $$ Ответ: $x^6 + 6x^5 y + 15x^4 y^2 + 20x^3 y^3 + 15x^2 y^4 + 6xy^5 + y^6$. 2) $(1 - a)^5$ Используем формулу бинома Ньютона для степени $n = 5$: $$ (1 - a)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 - C_5^1 \cdot 1^4 \cdot a + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot a^2 - C_5^3 \cdot 1^2 \cdot a^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot a^4 - C_5^5 \cdot a^5 $$ Коэффициенты равны: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. $$ (1 - a)^5 = 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5 $$ Ответ: $1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$. --- ### Часть 2 **1. Решить относительно $n$ уравнение:** 1) $P_{n+4} = 20P_{n+2}$ По определению перестановок: $$ (n+4)! = 20(n+2)! $$ Так как $(n+4)! = (n+2)!(n+3)(n+4)$, разделим обе части на $(n+2)! \neq 0$: $$ (n+3)(n+4) = 20 $$ $$ n^2 + 7n + 12 = 20 $$ $$ n^2 + 7n - 8 = 0 $$ По теореме Виета: $$ n_1 = 1, \quad n_2 = -8 $$ По смыслу комбинаторных задач $n \in \mathbb{N}$, поэтому значение $n = -8$ не подходит. Ответ: $n = 1$. 2) $A_{n+1}^3 = C_{n+2}^2$ Ограничения на $n$: $n+1 \ge 3 \implies n \ge 2$, $n \in \mathbb{N}$. Запишем формулы: $$ A_{n+1}^3 = (n+1)n(n-1) $$ $$ C_{n+2}^2 = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $$ Подставим в уравнение: $$ (n+1)n(n-1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2} $$ Поскольку $n \ge 2$, разделим обе части на $n+1 \neq 0$: $$ n(n-1) = \frac{n+2}{2} $$ $$ 2n(n-1) = n + 2 $$ $$ 2n^2 - 2n - n - 2 = 0 $$ $$ 2n^2 - 3n - 2 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ n_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad n_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} $$ Корень $n = -\frac{1}{2}$ не является натуральным числом. Ответ: $n = 2$. --- **2. Решить неравенство $(n-3)P_{n+2} < P_{n+1}$** Ограничение: факториал определён для неотрицательных целых чисел, поэтому $n \in \mathbb{N}$. Запишем неравенство в виде факториалов: $$ (n-3)(n+2)! < (n+1)! $$ Так как $(n+2)! = (n+1)!(n+2)$, подставим это выражение: $$ (n-3)(n+1)!(n+2) < (n+1)! $$ Разделим обе части на $(n+1)! > 0$: $$ (n-3)(n+2) < 1 $$ $$ n^2 - n - 6 < 1 $$ $$ n^2 - n - 7 < 0 $$ Найдём корни уравнения $n^2 - n - 7 = 0$: $$ D = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 29 $$ $$ n = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} $$ Решением неравенства является интервал: $$ \frac{1 - \sqrt{29}}{2} < n < \frac{1 + \sqrt{29}}{2} $$ Оценим границы, учитывая, что $5 < \sqrt{29} < 6$ (примерно $\sqrt{29} \approx 5{,}39$): $$ \frac{1 - 5{,}39}{2} \approx -2{,}195 < n < \frac{1 + 5{,}39}{2} \approx 3{,}195 $$ Так как $n \in \mathbb{N}$, получаем: $n \in \{1, 2, 3\}$. Ответ: $n = 1; 2; 3$. --- **3. Шифр некоторого сейфа образуется из двух чисел. Первое, трёхзначное число, составляется из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (каждая цифра встречается не более одного раза); второе, пятизначное число, записывается с помощью цифр 6, 7, 8. Сколько различных шифров можно использовать в этом сейфе?** 1) Найдём количество способов составить первое число. Выбираем 3 различные цифры из 5 с учётом порядка: $$ N_1 = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 $$ 2) Найдём количество способов составить второе пятизначное число. На каждой из 5 позиций может стоять любая из трёх цифр (6, 7 или 8): $$ N_2 = 3^5 = 243 $$ 3) По правилу произведения общее число возможных шифров равно: $$ N = N_1 \cdot N_2 = 60 \cdot 243 = 14580 $$ Ответ: $14580$ шифров. --- **4. Сколькими способами можно разложить 6 монет по двум карманам?** Каждая из 6 монет может быть положена либо в первый карман, либо во второй (2 варианта выбора для каждой монеты). По правилу произведения: $$ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64 $$ *(Если монеты считаются неразличимыми, то способ определяется только числом монет в первом кармане — от 0 до 6 монет, то есть $6 + 1 = 7$ способов).* Ответ: $64$ способа (для одинаковых монет — $7$ способов). --- **5. Используя свойство числа сочетаний, найти:** 1) $C_{10}^7 - C_9^6$ Используем свойство $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$, откуда $C_n^k - C_{n-1}^{k-1} = C_{n-1}^k$. При $n = 10$, $k = 7$: $$ C_{10}^7 - C_9^6 = C_9^7 $$ По свойству $C_n^k = C_n^{n-k}$ находим $C_9^7 = C_9^2$: $$ C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36 $$ Ответ: $36$. 2) $C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9$ Сумма всех биномиальных коэффициентов для степени $n = 9$ равна: $$ C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 + C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 = 2^9 = 512 $$ Так как $C_9^k = C_9^{9-k}$, коэффициенты попарно равны: $C_9^0 = C_9^9$, $C_9^1 = C_9^8$, $C_9^2 = C_9^7$, $C_9^3 = C_9^6$, $C_9^4 = C_9^5$. Следовательно, первая половина суммы равна второй: $$ C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = C_9^5 + C_9^6 + C_9^7 + C_9^8 + C_9^9 $$ Значит, искомая сумма равна половине общей суммы: $$ \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256 $$ Ответ: $256$. --- **6. Найти член разложения бинома $\left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^{20}$, содержащий $x^5$.** Запишем общий член разложения бинома $(a + b)^n$: $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k $$ В данном случае $n = 20$, $a = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$, $b = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -x^{-\frac{1}{3}}$: $$ T_{k+1} = C_{20}^k \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{20-k} \left(-x^{-\frac{1}{3}}\right)^k = C_{20}^k (-1)^k x^{\frac{20-k}{2} - \frac{k}{3}} $$ Упростим показатель степени при $x$: $$ \frac{20-k}{2} - \frac{k}{3} = 10 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3} = 10 - \frac{5k}{6} $$ По условию этот член должен содержать $x^5$: $$ 10 - \frac{5k}{6} = 5 $$ $$ \frac{5k}{6} = 5 $$ $$ k = 6 $$ Следовательно, искомым является 7-й член разложения ($T_7$): $$ T_7 = C_{20}^6 (-1)^6 x^5 = C_{20}^6 x^5 $$ Вычислим коэффициент $C_{20}^6$: $$ C_{20}^6 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{720} = 38760 $$ Таким образом: $$ T_7 = 38760x^5 $$ Ответ: $38760x^5$.