ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 3

1. Найти промежутки монотонности функции: 1) $y = 2x^2 - 5x$ Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$y' = (2x^2 - 5x)' = 4x - 5$$ Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$4x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{4} = 1{,}25$$ Определим знаки производной на полученных промежутках: - при $x \in (-\infty; 1{,}25)$ имеем $y' < 0$ — функция убывает; - при $x \in (1{,}25; +\infty)$ имеем $y' > 0$ — функция возрастает. Ответ: функция убывает на $(-\infty; 1{,}25]$ и возрастает на $[1{,}25; +\infty)$. 2) $y = -\sqrt{x + 4}$ Область определения: $x + 4 \ge 0 \implies x \in [-4; +\infty)$. Найдём производную функции при $x > -4$: $$y' = \left(-\sqrt{x + 4}\right)' = -\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}$$ При всех $x > -4$ выражение под знаком корня положительно, поэтому $y' < 0$. Так как функция непрерывна на всей области определения $[-4; +\infty)$, она убывает на всём этом промежутке. Ответ: функция убывает на $[-4; +\infty)$. --- 2. Найти точки экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значения функции в этих точках. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. Найдём производную функции: $$y' = (x^4 - 4x^3 + 20)' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$ Найдём стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$4x^2(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = 3$$ Определим знаки производной методом интервалов: - при $x \in (-\infty; 0)$: $y' < 0$ (функция убывает); - при $x \in (0; 3)$: $y' < 0$ (функция убывает); - при $x \in (3; +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает). При переходе через точку $x = 0$ производная знак не меняет, следовательно, $x = 0$ не является точкой экстремума. При переходе через точку $x = 3$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 3$ — точка минимума: $$x_{\min} = 3$$ Вычислим значение функции в точке минимума: $$y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 20 = 81 - 108 + 20 = -7$$ Ответ: точек максимума нет; точка минимума: $x_{\min} = 3$, значение функции в ней: $y(3) = -7$. --- 3. Построить график функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$. Проведём исследование функции: 1) Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. 2) Точки пересечения графика с осями координат: - с осью $Oy$: при $x = 0$ получаем $y = -4$, то есть точка $(0; -4)$; - с осью $Ox$: решим уравнение $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$. Заметим, что $x = 1$ — корень ($1 + 3 - 4 = 0$). Разложим многочлен на множители: $$x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)^2 = 0$$ Отсюда $x = 1$ и $x = -2$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$ и $(-2; 0)$ (в точке $x = -2$ график касается оси $Ox$). 3) Промежутки монотонности и экстремумы: $$y' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$ $$y' = 0 \implies 3x(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2,\quad x_2 = 0$$ - на $(-\infty; -2)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(-2; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(0; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Точка максимума: $x_{\max} = -2$, значение: $y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = 0$. Точка минимума: $x_{\min} = 0$, значение: $y(0) = -4$. 4) Построение графика: - отмечаем точки экстремумов: локальный максимум $(-2; 0)$ и локальный минимум $(0; -4)$; - отмечаем точку пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$; - проводим плавную кривую: из $-\infty$ функция возрастает до точки $(-2; 0)$, затем убывает до точки $(0; -4)$, после чего возрастает через точку $(1; 0)$ в $+\infty$. --- 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \frac{9}{x}$ на отрезке $[1; 4]$. Функция непрерывна и дифференцируема на отрезке $[1; 4]$. Найдём производную: $$f'(x) = \left(x + \frac{9}{x}\right)' = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$$ Найдём нули производной: $$\frac{x^2 - 9}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3\quad (x = -3 \notin [1; 4])$$ Критическая точка $x = 3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$. Вычислим значения функции в точке $x = 3$ и на концах отрезка: $$f(1) = 1 + \frac{9}{1} = 10$$ $$f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 6$$ $$f(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2{,}25 = 6{,}25$$ Сравнивая полученные значения, находим: $$\max_{[1; 4]} f(x) = f(1) = 10$$ $$\min_{[1; 4]} f(x) = f(3) = 6$$ Ответ: наибольшее значение равно $10$, наименьшее значение равно $6$. --- 5. Отливка объёмом $72$ дм$^3$ имеет форму прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон основания $1:2$. При каких размерах отливки площадь её полной поверхности будет наименьшей? Пусть стороны основания параллелепипеда равны $x$ дм и $2x$ дм ($x > 0$), а высота равна $h$ дм ($h > 0$). Объём параллелепипеда: $$V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2 h = 72 \implies h = \frac{72}{2x^2} = \frac{36}{x^2}$$ Площадь полной поверхности складывается из площадей двух оснований и четырёх боковых граней: $$S = 2(x \cdot 2x) + 2(x \cdot h) + 2(2x \cdot h) = 4x^2 + 6xh$$ Подставим выражение для $h$: $$S(x) = 4x^2 + 6x \cdot \frac{36}{x^2} = 4x^2 + \frac{216}{x},\quad x \in (0; +\infty)$$ Исследуем функцию $S(x)$ на наименьшее значение с помощью производной: $$S'(x) = \left(4x^2 + \frac{216}{x}\right)' = 8x - \frac{216}{x^2} = \frac{8x^3 - 216}{x^2} = \frac{8(x^3 - 27)}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю при $x > 0$: $$8(x^3 - 27) = 0 \implies x^3 = 27 \implies x = 3$$ Определим знак производной при переходе через точку $x = 3$: - при $x \in (0; 3)$: $S'(x) < 0$ (функция убывает); - при $x \in (3; +\infty)$: $S'(x) > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x = 3$ функция принимает наименьшее значение. Найдём размеры отливки: - первая сторона основания: $x = 3$ дм; - вторая сторона основания: $2x = 6$ дм; - высота: $h = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$ дм. Ответ: $3$ дм, $6$ дм, $4$ дм. --- 1. При каких значениях $a$ функция $y = x^3 + 3ax$ возрастает на всей числовой прямой? Функция $y = x^3 + 3ax$ дифференцируема на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Найдём её производную: $$y' = 3x^2 + 3a = 3(x^2 + a)$$ Дифференцируемая функция возрастает на $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда её производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в изолированных точках: $$3(x^2 + a) \ge 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$ $$x^2 + a \ge 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$ Так как наименьшее значение выражения $x^2$ равно $0$ (при $x = 0$), неравенство $x^2 + a \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда: $$a \ge 0$$ При $a = 0$ производная $y' = 3x^2 \ge 0$ обращается в нуль только в точке $x = 0$, и функция $y = x^3$ строго возрастает на $\mathbb{R}$. Ответ: $a \ge 0$. --- 2. Построить график функции $$y = x + \frac{4}{x}.$$ Проведём исследование функции: 1) Область определения: все $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2) Чётность: $$y(-x) = -x + \frac{4}{-x} = -\left(x + \frac{4}{x}\right) = -y(x)$$ Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат $O(0; 0)$. 3) Точки пересечения с осями: - с осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0$ не входит в область определения; - с осью $Ox$: $x + \frac{4}{x} = 0 \implies \frac{x^2 + 4}{x} = 0$ — корней нет, точек пересечения нет. 4) Асимптоты: - прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота: $$\lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{4}{x}\right) = +\infty,\quad \lim_{x \to 0^-} \left(x + \frac{4}{x}\right) = -\infty$$ - наклонная асимптота $y = kx + b$: $$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{4}{x^2}\right) = 1$$ $$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x} = 0$$ Прямая $y = x$ — наклонная асимптота при $x \to \pm\infty$. 5) Промежутки монотонности и экстремумы: $$y' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$$ $$y' = 0 \implies x_1 = -2,\quad x_2 = 2$$ Определим знаки $y'$: - на $(-\infty; -2)$: $y' > 0$ — функция возрастает; - на $(-2; 0)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(0; 2)$: $y' < 0$ — функция убывает; - на $(2; +\infty)$: $y' > 0$ — функция возрастает. Точка максимума: $x_{\max} = -2$, значение: $y(-2) = -2 - 2 = -4$. Точка минимума: $x_{\min} = 2$, значение: $y(2) = 2 + 2 = 4$. 6) Построение графика: - проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = 0$ (ось $Oy$) и наклонную прямую $y = x$; - отмечаем точку локального максимума $(-2; -4)$ в III четверти и точку локального минимума $(2; 4)$ в I четверти; - строим две ветви: в I четверти ветвь лежит выше асимптоты $y = x$, опускается из $+\infty$ вдоль оси $Oy$ до точки $(2; 4)$ и далее возрастает, приближаясь к прямой $y = x$; ветвь в III четверти строится симметрично относительно начала координат. --- 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x) = \frac{x^2}{e^x}$$ на отрезке $[-1; 3]$. Функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[-1; 3]$. Найдём производную функции: $$f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot e^x - x^2 \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x x(2 - x)}{e^{2x}} = \frac{x(2 - x)}{e^x}$$ Найдём критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $$\frac{x(2 - x)}{e^x} = 0 \implies x_1 = 0,\quad x_2 = 2$$ Обе критические точки лежат внутри отрезка $[-1; 3]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: $$f(-1) = \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = 1 \cdot e = e$$ $$f(0) = \frac{0^2}{e^0} = 0$$ $$f(2) = \frac{2^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$$ $$f(3) = \frac{3^2}{e^3} = \frac{9}{e^3}$$ Сравним полученные числа: - так как $x^2 \ge 0$ и $e^x > 0$, то $f(x) \ge 0$ для всех $x$, откуда наименьшее значение: $$\min_{[-1; 3]} f(x) = f(0) = 0$$ - для поиска наибольшего значения сравним $e$, $\frac{4}{e^2}$ и $\frac{9}{e^3}$. Учитывая, что $e \approx 2{,}718$: $$\frac{4}{e^2} < \frac{4}{2^2} = 1 < e,\quad \frac{9}{e^3} < \frac{9}{2^3} = \frac{9}{8} < e$$ Следовательно, наибольшее значение: $$\max_{[-1; 3]} f(x) = f(-1) = e$$ Ответ: наименьшее значение равно $0$, наибольшее значение равно $e$. --- 4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса $R$. Пусть $H$ — высота конуса ($H > 2R$), а $r$ — радиус его основания ($r > 0$). Рассмотрим осевое сечение конуса: это равнобедренный треугольник $SAB$, в который вписан большой круг сферы радиуса $R$. Пусть $S$ — вершина конуса, $SO$ — его высота ($SO = H$), $OA = r$ — радиус основания. Центр сферы $O_1$ лежит на отрезке $SO$, причём $O_1O = R$. Тогда: $$SO_1 = H - R$$ Пусть $K$ — точка касания образующей $SA$ со сферой. Отрезок $O_1K$ перпендикулярен $SA$, и $O_1K = R$. Из прямоугольного треугольника $\Delta SO_1K$ по теореме Пифагора: $$SK = \sqrt{SO_1^2 - O_1K^2} = \sqrt{(H - R)^2 - R^2} = \sqrt{H^2 - 2HR}$$ Прямоугольные треугольники $\Delta SOA$ и $\Delta SKO_1$ подобны по общему острому углу при вершине $S$. Из подобия следует отношение сторон: $$\frac{OA}{SO} = \frac{O_1K}{SK} \implies \frac{r}{H} = \frac{R}{\sqrt{H^2 - 2HR}}$$ Выразим радиус основания $r$: $$r = \frac{H R}{\sqrt{H^2 - 2HR}} \implies r^2 = \frac{H^2 R^2}{H(H - 2R)} = \frac{H R^2}{H - 2R}$$ Объём конуса вычисляется по формуле: $$V(H) = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{H R^2}{H - 2R} \cdot H = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{H^2}{H - 2R},\quad H \in (2R; +\infty)$$ Чтобы найти значение $H$, при котором объём минимален, исследуем функцию $g(H) = \frac{H^2}{H - 2R}$ при $H > 2R$: $$g'(H) = \frac{(H^2)'(H - 2R) - H^2(H - 2R)'}{(H - 2R)^2} = \frac{2H(H - 2R) - H^2}{(H - 2R)^2} = \frac{H^2 - 4HR}{(H - 2R)^2} = \frac{H(H - 4R)}{(H - 2R)^2}$$ Приравняем производную к нулю при $H > 2R$: $$\frac{H(H - 4R)}{(H - 2R)^2} = 0 \implies H = 4R$$ Определим знак производной: - при $H \in (2R; 4R)$: $g'(H) < 0$ (объём убывает); - при $H \in (4R; +\infty)$: $g'(H) > 0$ (объём возрастает). Следовательно, точка $H = 4R$ является точкой минимума функции $V(H)$. Ответ: $4R$.