ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 6

### Часть 1 **1.** При бросании двух монет возможны $4$ равновероятных исхода: (орёл, орёл), (орёл, решка), (решка, орёл), (решка, решка). Благоприятным является только $1$ исход — (орёл, орёл). По классическому определению вероятности: $$ P = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ Ответ: $0{,}25$. --- **2.** Пусть событие $A$ — извлечённая деталь является бракованной. По условию $P(A) = 0{,}05$. Событие $\overline{A}$ — извлечённая деталь окажется небракованной. Это событие является противоположным к событию $A$. $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 $$ Ответ: $0{,}95$. --- **3.** Общее количество шаров в ящике: $$ n = 2 + 3 + 10 = 15 $$ Событие $A$ состоит в том, что вынутый шар окажется чёрного или белого цвета. Количество благоприятных исходов: $$ m = 2 + 3 = 5 $$ Искомая вероятность: $$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\dfrac{1}{3}$. --- **4.** Всего в вазе изначально находится $3 + 5 = 8$ плодов. Пусть событие $A$ — первым взят апельсин. Вероятность этого события: $$ P(A) = \frac{3}{8} $$ После того как один апельсин взят, в вазе остаётся $7$ плодов, из которых $5$ яблок. Условная вероятность взять вторым яблоко при условии, что первым был взят апельсин, равна: $$ P(B \mid A) = \frac{5}{7} $$ По теореме умножения вероятностей: $$ P = P(A) \cdot P(B \mid A) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56} $$ Ответ: $\dfrac{15}{56}$. --- **5.** Выстрелы являются независимыми событиями. Вероятность попадания при каждом выстреле равна $p = 0{,}8$. По теореме умножения для независимых событий вероятность попадания при обоих выстрелах равна: $$ P = 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64 $$ Ответ: $0{,}64$. --- **6.** Всего к зачёту предлагалось $20$ вопросов. Ученик знал ответы на $15$ из них, следовательно, не знал ответа на: $$ 20 - 15 = 5 \text{ вопросов} $$ По условию ответа на первый вопрос ученик не знал. Значит, этот вопрос был из числа тех пяти, которых он не знал. После первого вопроса осталось $20 - 1 = 19$ вопросов, причём количество вопросов, на которые ученик знает ответы, не изменилось и равно $15$. Вероятность того, что ученик ответит на второй вопрос: $$ P = \frac{15}{19} $$ Ответ: $\dfrac{15}{19}$. --- ### Часть 2 **1.** Вероятность попадания при одном выстреле $p = 0{,}9$, а вероятность промаха: $$ q = 1 - 0{,}9 = 0{,}1 $$ Событие «после двух выстрелов в мишени окажется одна пуля» означает, что стрелок попал ровно один раз из двух. Это возможно в двух несовместных случаях: 1. Первый выстрел — попадание, второй — промах: вероятность равна $0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}09$. 2. Первый выстрел — промах, второй — попадание: вероятность равна $0{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}09$. Искомая вероятность: $$ P = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18 $$ Ответ: $0{,}18$. --- **2.** Вероятность попадания при одном выстреле $p = 0{,}8$, а вероятность промаха: $$ q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2 $$ Событие $A$ — «мишень поражена хотя бы одним выстрелом» противоположно событию $\overline{A}$ — «стрелок промахнулся все три раза». Так как выстрелы независимы, вероятность трёх промахов равна: $$ P(\overline{A}) = q^3 = 0{,}2^3 = 0{,}008 $$ Тогда искомая вероятность: $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992 $$ Ответ: $0{,}992$. --- **3.** Всего шаров $20$. Пусть событие $A$ — выбранный шар легче остальных. Так как таких шаров $8$, то: $$ P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $$ Пусть событие $B$ — выбранный шар окрашен в красный цвет. Так как произвольные $5$ шаров окрашены в красный цвет, то: $$ P(B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $$ Вероятность того, что шар окажется не красным: $$ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$ Поскольку окраска шаров производилась произвольно и не зависит от массы шаров, события $A$ и $\overline{B}$ независимы. Искомая вероятность того, что шар лёгкий и не красный, равна произведению их вероятностей: $$ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3 $$ Ответ: $0{,}3$. --- **4.** В первой коробке всего: $$ 2 + 3 + 4 = 9 \text{ шаров} $$ Во второй коробке всего: $$ 1 + 2 + 3 = 6 \text{ шаров} $$ Пусть событие $A$ — вынутые шары разных цветов. Противоположное ему событие $\overline{A}$ — вынутые шары одного цвета (оба белые, оба чёрные или оба красные). Выбор шаров из коробок происходит независимо: - Вероятность того, что оба шара белые: $$ P(\text{Б, Б}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{54} $$ - Вероятность того, что оба шара чёрные: $$ P(\text{Ч, Ч}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{54} $$ - Вероятность того, что оба шара красные: $$ P(\text{К, К}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{54} $$ Так как эти варианты несовместны, вероятность того, что шары одного цвета, равна их сумме: $$ P(\overline{A}) = \frac{2}{54} + \frac{6}{54} + \frac{12}{54} = \frac{20}{54} = \frac{10}{27} $$ Следовательно, вероятность того, что вынутые шары окажутся разных цветов: $$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{10}{27} = \frac{17}{27} $$ Ответ: $\dfrac{17}{27}$.