ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 2

### Задания (часть 1) **1.** Найдем производную функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x$: $$ f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' - (x)' = 6x^2 + 6x - 1 $$ Вычислим значение производной в точке $x = -2$: $$ f'(-2) = 6 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 1 = 6 \cdot 4 - 12 - 1 = 24 - 12 - 1 = 11 $$ Ответ: $11$. --- **2.** Найдем производные функций: 1) $y = \frac{2}{x} + 4\sqrt{x} - e^x$ Перепишем функцию в виде степеней: $y = 2x^{-1} + 4x^{1/2} - e^x$. $$ y' = 2 \cdot (-1)x^{-2} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - e^x = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x $$ 2) $y = (3x - 5)^3$ По правилу дифференцирования сложной функции: $$ y' = 3(3x - 5)^2 \cdot (3x - 5)' = 3(3x - 5)^2 \cdot 3 = 9(3x - 5)^2 $$ 3) $y = 3\sin 2x \cdot \cos x$ По формуле производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (3\sin 2x)' \cdot \cos x + 3\sin 2x \cdot (\cos x)' = 3 \cdot 2\cos 2x \cdot \cos x + 3\sin 2x \cdot (-\sin x) = 6\cos 2x \cos x - 3\sin 2x \sin x $$ 4) $y = \frac{x^3}{x^2 + 5}$ По формуле производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x^3)'(x^2 + 5) - x^3(x^2 + 5)'}{(x^2 + 5)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 5) - x^3 \cdot 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2 + 5)^2} = \frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2 + 5)^2} $$ Ответ: 1) $-\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x$; 2) $9(3x - 5)^2$; 3) $6\cos 2x \cos x - 3\sin 2x \sin x$; 4) $\frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2 + 5)^2}$. --- **3.** Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: $k = \operatorname{tg} \alpha = y'(x_0)$. 1) Найдем производную функции $y = x^4 - 2x^3 + 3$: $$ y' = 4x^3 - 6x^2 $$ 2) Вычислим значение производной при $x_0 = \frac{1}{2}$: $$ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1 $$ 3) Найдем угол $\alpha$ наклона касательной к оси $Ox$: $$ \operatorname{tg} \alpha = -1 \implies \alpha = 135^\circ \quad \left(\text{или } \frac{3\pi}{4}\right) $$ Ответ: $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$). --- **4.** Найдем область определения и производную функции $f(x) = \ln(3x + 1)$: Функция определена при $3x + 1 > 0$, то есть $x > -\frac{1}{3}$. Производная сложной функции: $$ f'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot (3x + 1)' = \frac{3}{3x + 1} $$ Найдем значения $x$, при которых $f'(x) > 0$: $$ \frac{3}{3x + 1} > 0 \iff 3x + 1 > 0 \iff x > -\frac{1}{3} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{3}; +\infty\right)$. --- **5.** Уравнение касательной к графику функции имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ 1) Вычислим значение функции в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$: $$ f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ 2) Найдем производную функции $f(x) = \sin 2x$: $$ f'(x) = 2\cos 2x $$ 3) Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$: $$ f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$ 4) Составим уравнение касательной: $$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Ответ: $y = x + \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$. --- ### Задания (часть 2) **1.** Найдем предел последовательности, разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень $n^4$: $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4 + n^2 - 4}{3n^4 - n^3 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n^2} - \frac{4}{n^4}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^4}} = \frac{2 + 0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{2}{3} $$ Ответ: $\frac{2}{3}$. --- **2.** Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x = 3$, если существует конечный предел $\lim_{x \to 3} f(x)$ и он равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$. 1) По условию значение функции в точке $x = 3$ равно: $$ f(3) = 2 $$ 2) Найдем предел функции при $x \to 3$ (где $x \neq 3$): $$ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)^2}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 3) = 3 - 3 = 0 $$ 3) Так как $\lim_{x \to 3} f(x) = 0 \neq 2 = f(3)$, функция не является непрерывной в точке $x = 3$ (в этой точке функция имеет устранимый разрыв). Ответ: не является непрерывной. --- **3.** Найдем область определения функции $f(x) = 2\sqrt{x} - 3\ln(x + 2)$: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x + 2 > 0 \end{cases} \iff x \ge 0 $$ Функция дифференцируема при $x > 0$. Найдем производную: $$ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 3 \cdot \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x + 2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x + 2} = 0 \iff \frac{x + 2 - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x + 2)} = 0 $$ При $x > 0$ знаменатель отличен от нуля, следовательно: $$ x - 3\sqrt{x} + 2 = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t > 0$. $$ t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0 \implies t_1 = 1, \quad t_2 = 2 $$ Возвращаясь к переменной $x$: 1) $\sqrt{x} = 1 \implies x_1 = 1$; 2) $\sqrt{x} = 2 \implies x_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $x = 1$; $x = 4$. --- **4.** Угловой коэффициент прямой $y = 3x - 2$ равен $k = 3$. Касательная параллельна данной прямой, поэтому ее угловой коэффициент также равен $3$: $$ y'(x_0) = 3 $$ 1) Найдем производную функции $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5$: $$ y' = x^2 - 2x $$ 2) Найдем абсциссы точек касания: $$ x_0^2 - 2x_0 = 3 \iff x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_{01} = 3, \quad x_{02} = -1 $$ 3) Составим уравнения касательных для каждой точки: - При $x_0 = 3$: $$ y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3^2 + 5 = 9 - 9 + 5 = 5 $$ Уравнение касательной: $$ y - 5 = 3(x - 3) \implies y = 3x - 9 + 5 \implies y = 3x - 4 $$ - При $x_0 = -1$: $$ y(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + 5 = -\frac{1}{3} - 1 + 5 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3} $$ Уравнение касательной: $$ y - \frac{11}{3} = 3(x - (-1)) \implies y = 3x + 3 + \frac{11}{3} \implies y = 3x + \frac{20}{3} $$ Ответ: $y = 3x - 4$ и $y = 3x + \frac{20}{3}$.