ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень проверь себя (глава) - 4

### Часть 1 #### 1. По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Найдём производную функции $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$: $$ F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)' $$ Используя правила дифференцирования: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$, $(x^3)' = 3x^2$, $(\cos x)' = -\sin x$, получаем: $$ F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x $$ Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой. --- #### 2. Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$: $$ F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^3 + x^2 - 3x + C $$ По условию график первообразной проходит через точку $M(1; -2)$, значит, $F(1) = -2$: $$ 1^3 + 1^2 - 3 \cdot 1 + C = -2 $$ $$ 1 + 1 - 3 + C = -2 $$ $$ -1 + C = -2 \implies C = -1 $$ **Ответ:** $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$. --- #### 3. По формуле Ньютона — Лейбница: 1) $$ \int_{1}^{2} 2x^2 \, dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$ 2) $$ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x^3} = \int_{1}^{3} x^{-3} \, dx = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{1}^{3} = -\frac{1}{2 \cdot 3^2} - \left( -\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} $$ 3) $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \frac{1}{2} \sin(0) = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 = 0 - 0 = 0 $$ 4) $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\cos \pi - \left( -\cos \frac{\pi}{2} \right) = -(-1) - (-0) = 1 $$ **Ответ:** 1) $4\frac{2}{3}$; 2) $\frac{4}{9}$; 3) $0$; 4) $1$. --- #### 4. Найдём точки пересечения параболы $y = x^2 + x - 6$ с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 2 $$ Ветви параболы направлены вверх, поэтому на отрезке $[-3; 2]$ график лежит не выше оси $Ox$ ($y \le 0$). Следовательно, площадь фигуры вычисляется по формуле: $$ S = \int_{-3}^{2} (0 - (x^2 + x - 6)) \, dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6) \, dx $$ $$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{2} $$ Вычислим значения на концах отрезка: - при $x = 2$: $$ -\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 12 = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3} $$ - при $x = -3$: $$ -\frac{-27}{3} - \frac{9}{2} - 18 = 9 - 4{,}5 - 18 = -13{,}5 = -\frac{27}{2} $$ $$ S = \frac{22}{3} - \left( -\frac{27}{2} \right) = \frac{44 + 81}{6} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} $$ **Ответ:** $20\frac{5}{6}$. --- ### Часть 2 #### 1. Найдём общий вид первообразных для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$: $$ F(x) = \int (e^x - 3\sin x) \, dx = e^x - 3(-\cos x) + C = e^x + 3\cos x + C $$ График проходит через точку $A(0; 2)$, значит, $F(0) = 2$: $$ e^0 + 3\cos 0 + C = 2 $$ $$ 1 + 3 \cdot 1 + C = 2 $$ $$ 4 + C = 2 \implies C = -2 $$ **Ответ:** $F(x) = e^x + 3\cos x - 2$. --- #### 2. 1) $$ \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4\sqrt{4} - 1\sqrt{1}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} $$ 2) $$ \int_{0}^{1} \frac{2}{3x + 1} \, dx = 2 \cdot \frac{1}{3} \left[ \ln(3x + 1) \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(\ln(3 \cdot 1 + 1) - \ln(3 \cdot 0 + 1)) = \frac{2}{3}(\ln 4 - \ln 1) = \frac{2}{3}\ln 4 $$ (Также можно записать: $\frac{2}{3}\ln(2^2) = \frac{4}{3}\ln 2$). **Ответ:** 1) $4\frac{2}{3}$; 2) $\frac{2}{3}\ln 4$. --- #### 3. Интеграл $\int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx$ задаёт площадь криволинейной трапеции, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной: - сверху — параболой $y = 2x - x^2$ (ветви направлены вниз, вершина в точке $(1; 1)$, пересекает ось абсцисс в точках $x = 0$ и $x = 2$); - снизу — осью $Ox$ ($y = 0$); - слева — вертикальной прямой $x = 1$; - справа — точкой $x = 2$ пересечения параболы с осью $Ox$ (прямой $x = 2$). Для изображения фигуры в тетради: 1. Постройте координатные оси $Ox$ и $Oy$. 2. Отметьте вершину параболы $(1; 1)$ и точку пересечения с осью $Ox$ — $(2; 0)$. 3. Проведите дугу параболы от $x = 1$ до $x = 2$. 4. Заштрихуйте область между графиком параболы, отрезком $[1; 2]$ оси $Ox$ и вертикальным отрезком от точки $(1; 0)$ до $(1; 1)$. Вычислим площадь: $$ S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$ **Ответ:** $S = \frac{2}{3}$. --- #### 4. Найдём абсциссы точек пересечения парабол $y = 2 + 4x - x^2$ и $y = x^2 - 2x + 2$: $$ 2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2 $$ $$ 2x^2 - 6x = 0 \implies 2x(x - 3) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ На отрезке $[0; 3]$ парабола $y = 2 + 4x - x^2$ расположена выше параболы $y = x^2 - 2x + 2$ (например, при $x = 1$: $2 + 4 - 1 = 5 > 1 - 2 + 2 = 1$). Найдём площадь фигуры: $$ S = \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx $$ $$ S = \left[ 3x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left( 3 \cdot 3^2 - \frac{2 \cdot 3^3}{3} \right) - 0 = 27 - 18 = 9 $$ **Ответ:** $9$. --- #### 5. 1. Найдём уравнения касательных к параболе $y = x^2 + 1$, проходящих через точку $(0; -3)$. Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ Для $f(x) = x^2 + 1$: $f(x_0) = x_0^2 + 1$, а производная $f'(x) = 2x$, откуда $f'(x_0) = 2x_0$. Уравнение касательной принимает вид: $$ y = x_0^2 + 1 + 2x_0(x - x_0) \implies y = 2x_0 x - x_0^2 + 1 $$ Касательная проходит через точку $(0; -3)$: $$ -3 = 2x_0 \cdot 0 - x_0^2 + 1 \implies -x_0^2 + 1 = -3 \implies x_0^2 = 4 \implies x_0 = \pm 2 $$ Получаем две касательные: - при $x_0 = 2$: $y = 4x - 3$ (точка касания $(2; 5)$); - при $x_0 = -2$: $y = -4x - 3$ (точка касания $(-2; 5)$). 2. Фигура симметрична относительно оси $Oy$. Касательные пересекаются в точке $(0; -3)$. На отрезке $[0; 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 1$, а снизу — касательной $y = 4x - 3$. Вычислим площадь фигуры: $$ S = 2 \int_{0}^{2} ((x^2 + 1) - (4x - 3)) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (x - 2)^2 \, dx $$ $$ S = 2 \left[ \frac{(x - 2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( 0 - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $$ **Ответ:** $5\frac{1}{3}$.