ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 630

Пусть комплексное число задано в алгебраической форме: $z = a + bi$, где $a, b \in \mathbb{R}$. Тогда сопряжённое ему число равно $\overline{z} = a - bi$. По определению модуля комплексного числа: $$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$ По условию $|z| = 1$, следовательно: $$ a^2 + b^2 = 1^2 = 1 $$ Так как $|z| \neq 0$, то $z \neq 0$, значит, деление на $z$ определено. Рассмотрим выражение $\frac{1}{z}$ и умножим его числитель и знаменатель на сопряжённое число $\overline{z} = a - bi$: $$ \frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} $$ Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов и равенство $i^2 = -1$: $$ (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2 $$ Тогда получаем: $$ \frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} $$ Подставим известное значение $a^2 + b^2 = 1$: $$ \frac{1}{z} = \frac{a - bi}{1} = a - bi $$ Так как $a - bi = \overline{z}$, приходим к равенству: $$ \overline{z} = \frac{1}{z} $$ Что и требовалось доказать.