ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 629

### 1) Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $2 + 3i$: $$ z = \frac{5 - i}{2 - 3i} = \frac{(5 - i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ z = \frac{10 + 15i - 2i - 3i^2}{2^2 - (3i)^2} = \frac{10 + 13i + 3}{4 - 9i^2} = \frac{13 + 13i}{4 + 9} = \frac{13 + 13i}{13} = 1 + i $$ Получили комплексное число $z = 1 + i$ в алгебраической форме ($a = 1$, $b = 1$). Найдем его модуль $r$ и аргумент $\varphi$: $$ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$ $$ \begin{cases} \cos\varphi = \dfrac{a}{r} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin\varphi = \dfrac{b}{r} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \implies \varphi = \frac{\pi}{4} $$ Запишем число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$: $$ z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) $$ --- ### 2) Возведем знаменатель в квадрат: $$ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ z = \frac{i}{(1 + i)^2} = \frac{i}{2i} = \frac{1}{2} $$ Получили действительное положительное число $z = \frac{1}{2} + 0i$. Найдем модуль и аргумент: $$ r = |z| = \frac{1}{2} $$ $$ \begin{cases} \cos\varphi = 1 \\ \sin\varphi = 0 \end{cases} \implies \varphi = 0 $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \frac{1}{2}(\cos 0 + i\sin 0) $$ --- ### 3) Упростим степень мнимой единицы в знаменателе: $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$. Разделим числитель на знаменатель, домножив числитель и знаменатель дроби на $i$: $$ z = \frac{1 + \sqrt{3}i}{i^3} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{-i} = \frac{(1 + \sqrt{3}i) \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i + \sqrt{3}i^2}{-i^2} = \frac{i - \sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3} + i $$ Получили $z = -\sqrt{3} + i$ ($a = -\sqrt{3}$, $b = 1$). Найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$: $$ r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $$ $$ \begin{cases} \cos\varphi = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \\ \sin\varphi = \dfrac{1}{2} \end{cases} $$ Так как $\cos\varphi < 0$, а $\sin\varphi > 0$, угол $\varphi$ находится во второй четверти: $$ \varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) $$ --- ### 4) Упростим степени мнимой единицы: $$ i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i $$ $$ i^{13} = (i^4)^3 \cdot i = 1^3 \cdot i = i $$ Подставим полученные значения в исходное выражение: $$ z = \frac{(1 + i)(2 + i^5)}{3 - i^{13}} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{3 - i} $$ Перемножим скобки в числителе: $$ (1 + i)(2 + i) = 2 + i + 2i + i^2 = 2 + 3i - 1 = 1 + 3i $$ Тогда: $$ z = \frac{1 + 3i}{3 - i} $$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $3 + i$: $$ z = \frac{(1 + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2} = \frac{3 + 10i - 3}{9 - (-1)} = \frac{10i}{10} = i $$ Получили чисто мнимое число $z = 0 + 1i$. Найдем модуль и аргумент: $$ r = |z| = 1 $$ $$ \begin{cases} \cos\varphi = 0 \\ \sin\varphi = 1 \end{cases} \implies \varphi = \frac{\pi}{2} $$ Запишем число в тригонометрической форме: $$ z = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} $$